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2012年北大入試理系数学第1問その2

2012.12.05 00:00|大学入試問題
どもども。

前回の問題の補足をやっていきますよ~~

問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
hmon1.jpg


1次変換の問題で,
条件イ,ロ,ハと ad-bc=1 を満たす変換を求めるものでした。

今回は幾何的な観点からちょっと見てみます~kusyami01.gif



2点(1,0),(0,1)の行き先をそれぞれ(→E_1)=(a,c),(→E_2)=(b,d)とします。
(→E_1)などはベクトルを表していると思ってくださいね

ad-bc≠0 より,この1次変換によって平面は平面に移されます。
基本ベクトル(1,0),(0,1)が張る平面から(→E_1),(→E_2)が張る平面へと移されるわけです。

(→E_1),(→E_2),(→E_1)+(→E_2)が表す点をそれぞれP,Q,Sとおきます。
ちょうど(1,1)の移り先がSになるので,Sが直線y=x上になければいけません。
下の図のようにPとQが両方とも直線y=xの上側(y>x)か下側(y<x)かの
同じ側に位置している場合はSがy=x上に来ることはありません。apple01.gif

d10_20121204010013.jpg

PとQのうち,一方が上側,もう一方が下側になければいけません。
これは直線y=-xに関しても同様です~(条件ロ)

d11_20121204010014.jpg

なお,Pが直線y=x上にあると,Qもまたy=x上にないとSがy=x上の点になりませんが
そのとき平行四辺形OPRQはつぶれてしまうので ad-bc=0 になってしまい不適ですb-03.gif

と言いますのも,よく知られたことですが,平行四辺形OPSQの面積は|ad-bc|で表されます。

d18_20121204044949.jpg


これの半分,つまり△OPQの面積が (1/2)|ad-bc| で表されることも公式としてよく使われますねaicon_81.gif

より詳しく言うと,PとQの位置関係について,∠POQを正の向き(反時計回り)に測ったとき

0<∠POQ<π  であるとき ad-bc>0
π<∠POQ<2π であるとき ad-bc<0


が成り立ちます。別の言い方をすると,
(→E_1)に関して正の向きの法線ベクトル(→E_3)=(-c,a)を取って
(→E_2)=α(→E_1)+β(→E_3) と表した時に 

β>0 となるとき ad-bc>0
β<0 となるとき ad-bc<0


となりますStrawberry02.gif

d19.jpg
d20.jpg


今回の問題では, ad-bc=1 ですので,β>0の場合にあたりますね。
これで(→E_1)と(→E_2)の位置関係が決まります

d12_20121204010014.jpg
 d13_20121204010015.jpg



さて,ここでまずは -π/4<θ<π/4 または -π<θ<-3π/4 または 3π/4<θ≦π
の場合を考えます。直線y=x,y=-xによって4分割される平面の領域のうち左右のエリアにPがある場合です。

     d16_20121204010101.jpg

OQ=ORより,2つの平行四辺形OPSQ,OPTRは合同です。
また,直角三角形OSTにおいてOP=PS=PTが成り立つので,この2つの平行四辺形は合同なひし形になります。
よって,△OPQ,△OPRは二等辺三角形になり,
点Qは点Pの直線y=xに関する対称点
点Rは点Pの直線y=-xに関する対称点になることが分かります。
このことから,(→E_2)=(b,d)=(c,a)となることが分かり,b=c,d=aが得られます~8257410.gif

また,条件ハに関してですが,x軸上の点は直線OP上に移されますね。
その傾きがkになることから c=ka が得られます~


d14_20121204010015.jpg
d15 1

あとはad-bc=1の条件でa,b,c,dを決定すればOKですね~
kの取りうる値の範囲は,直線OPの傾きを考えて -1<k<1 です8184765.gif



一方で, -3π/4<θ<-π/4 または π/4<θ<3π/4 の場合はどうでしょう。

d17.jpg

Sがy=x上に来ることと,2点P,Qの位置関係を踏まえると,
y=xとy=-xによって4分割された平面の領域のうち,PとQの一方が上側,もう一方が下側にくるので
PとRが同じ領域上に位置してしまいます。これではTがy=-x上に乗らないので不適です8164018.gif


d15 2


この場合は最初の場合の図でPとQの位置が入れ替わってる場合に相当しています。



以上からkの取りうる値の範囲は -1<k<1 になるんですね~15927445.gif









次回は第2問をやっていきますよ~~15927440.gif











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ジャンル:学校・教育

タグ:北大 大学入試 数学 2012 1次変換 行列 必要十分条件

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