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2012年北大入試理系数学第2問

2012.12.06 00:00|大学入試問題

どもども。

今回は今年の北大入試理系数学の第2問ですよー

問題はこちらぺんぎんmini

hmon2.jpg


三角関数の問題です~
センター試験あたりで出題されそうな非常によくある標準的な問題ですね~bakezouri.gif
しかも親切な誘導付きということで,試験場では絶対に落とせない問題です。

sinθ を x と置き換えることによって,
三角関数を3次関数に変身させることができます。
それによって,三角関数の微分などを使うことなく最大値や最小値を求めることができます~eto_ushi.gif


というわけで,(1)はf(θ)をxの関数に直す作業です。
2倍角の公式を使って cos2θ を sinθ を用いた表示に変形すればいいですね

e1_20121205023822.jpg

出てきた3次関数をg(x)とでもおいてその増減を調べます~
-π/2≦θ≦π/2 のとき, -1≦sinθ≦1 なので -1≦x≦1 です。
この範囲内でg(x)を考えます。
微分して極値を取るxを求めましょう~

e2_20121205023822.jpg

どちらも  -1≦x≦1 の範囲に含まれています。
あとは極値と端点におけるg(x)の値を求めて増減表を書きます。
それを元にg(x)の最大値と最小値を出せばOKです~eto_uma.gif

なお,それらのときのθの値も問題文で問われているので,忘れずに出しておきましょうね

e3_20121205023823.jpg

最大値は極大値と一致しますが,最小値は極小値ではなく右端での値になるので注意です。

(3)は,方程式 f(θ)=k が相異なる3つの解を持つためのkの条件を出す問題です。
さて,-π/2≦θ≦π/2 (-1≦x≦1)のとき, x と θ は1対1に対応します。
したがって,「方程式 f(θ)=k が相異なる3つの解を持つ」ことと
「方程式 g(x)=k が相異なる3つの解を持つ」ことは同値です。
そして更に,「3次関数y=g(x)(-1≦x≦1)のグラフと直線y=kが相異なる3個の交点を持つ」
ことと同値です。

そこでy=g(x)のグラフを描いて直線y=kと3個の交点を持つのはどういう時か探ってみましょーhamster_2.gif

e4_20121205023823.jpg

2√2のところは「<」で,8-3√2のところは「≦」ですよ~










この問題では親切にsinθを x とおいてニャンneko(1).gif
という誘導をしてくれていますが,それが無かったとして三角関数のまま処理してみる
解法を考えてみましょう~

実は三角関数のまま微分してもそんなに難しいことはないんですね,この問題

e5_20121205023824.jpg
e6_20121205023851.jpg

y=f(θ)のグラフは大体こんな感じです。

e graph


(3)はy=f(θ)のグラフと直線y=kの交点が3個になるようなkの範囲を出しますsaboten.gif


e7_20121205032711.jpg








冒頭で,センター試験あたりで出そうな問題だなどと述べましたが,
微分積分の単元についてはセンター向けの小技というのが沢山ありますよね~
今回はあまりベタな別解のない問題なので,1つ小技を紹介してみたいと思います~

極小値と極大値を持つ3次関数y=f(x)のグラフが,
特にx軸に接している場合というものを考えます。
微分の問題でこのような関数が登場する機会はしばしば見受けられますね。
これは極小値または極大値が0である場合とも言えるし,
方程式f(x)=0が二重解を持っていて,f(x)=(x-α)^2(x-β)
の形で書ける場合と言うこともできます。

このとき,x=αにおける極値が0で,もう一方の極値をx=γでとると仮定しましょう。

このとき, |γ-α|:|γ-β|=2:1 になりますheart06.gif

e8_20121205023852.jpg

この事実を使うと,微分とかしなくても極値を取る x の値γをすぐ出すことができます。

一応計算で確認しておきましょう~

e9_20121205023853.jpg
e10_20121205023854.jpg



この事実は今回の問題でも実は利用できます~hanaji03.gif

g(x)=-8x^3-6√2x^2+3√2 の増減を調べる問題だったわけですが,
定数項の3√2を無視した h(x)=-8x^2-6√2x^2=-2x^2(4x+3√2)
を考えてみます。
g(x)の最大値と最小値は,h(x)の最大値と最小値に3√2を足したものですよね~
だから,h(x)のグラフを考えたって別にいいんですよ

h(x)はちょうどλ(x-α)^2(x-β)の形をしているので
微分しなくても極値を取るxの値がわかってしまいます。
α=0,β=-3√2/4 の場合なので, γ=2/3×(-3√2/4)=-√2/2
がすぐ分かるというわけですね~

x^3の係数が負であるような3次関数なので
x=-√2/2で極小値,x=0で極大値0となることが分かります。
h(β)=h(0)=0,β<-1<0 なので h(-1)<0が計算せずに分かります。
この時点で最大値はh(0)=0で決定です。
あとはh(γ)とh(1)の値を比べれば最小値が分かります。

e11_20121205023856.jpg


てな具合です。
1次の項がない3次関数が出てきたらこんな技も使えるんだなーってことで
今回はここまでッ




次回は第3問をやっていきます~~hana14.gif





  
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ジャンル:学校・教育

タグ:北大 大学入試 数学 2012 三角関数 3次関数 微分 増減表 最大値 最小値

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