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2012年北大入試理系数学第3問その1

2012.12.08 04:18|大学入試問題
どもども。

今回は今年の北大入試理系数学の第3問です~~


問題はこちら~~くりmini

hmon3.jpg

数Ⅲの微積の問題です~dog_smile.gif
ハサミウチの原理を用いて(3)の極限を求めようという問題で,
(1)(2)はそのための誘導問題です~onpu15.gif


(1)は頻出問題ですよ~
この関係式を利用して解く問題が多いからです。
さて,この関係式は sinx のマクローリン展開に由来しています。
マクローリン展開とは,x=0の近くで無限回微分可能な関数を関数をベキ級数表示する概念なんですが
何言ってるかよく分からないはずなので,細かいことは置いておいて,
実は任意の実数xに対して, sinx が次の無限級数で表すことができちゃうんですッokojyo02.gif

v14.jpg


初めて見たらビックリして身震いしちゃうような等式なんですが
ちょうど最初の数項が sinx=x-x^3/6+x^5/120-……
になってまして, (2項目までの和)≦sinx≦(1項目(までの和))
が(1)で証明する不等式です

y=xはy=sinxという関数のx=0の近くでの1次近似です。
つまり,x=0の近くで最も sinx に近い1次関数が x なんです。
そして,y=x-x^3/6 は y=sinxのx=0の近くでの3次近似です。
つまり,x=0の近くで最も sinx に近い3次関数が x-x^3/6 なんです。

v1_20121208013850.jpg

上の図で青いのがy=sinx,赤いのが直線y=x,緑が3次関数y=x-x^3/6です。
この図だとx=0の近くではほとんど重なってるように見えますね

そのような背景があるため,(1)の不等式はよく利用されるというわけなんですね。
誘導のない試験問題で,解決の手口が見つからないとき
この不等式を利用して問題を解くことが時には出来るかもしれません。
覚えておいて損はないです。
sinx のマクローリン展開式自体も覚えておいて損はありません~

さて(1)を解くにあたっては sinx≦x と x-x^3/6≦sinx
とに分けて証明するのがいいと思います~neko02.gif

まずはsinx≦xを示しますよー
f(x)=x-sinx とおいて,x≧0のとき常にf(x)≧0となることをいえばOKです!hiyoko05.gif
そのために微分してみるのですが,導関数について f’(x)≧0 が常に成り立ちます。
これはf(x)が単調増加関数であることを意味していますね~
したがってf(x)≧f(0)=0が成り立ちます!

v3 1

次は x-x^3/6≦sinx を証明します。
さっきと同じ要領でやります。 g(x)=sinx-(x-x^3/6)≧0 を示します~
導関数について g’(x)≧0 が今回も成り立つのですが
それを導くために第2導関数 g’’(x) を計算します。
g’’(x)≧0 は最初に求めた sinx≦x から得ることができます。
このことからg’(x)は単調増加関数であることが分かり,
それを根拠にして g’(x)≧g’(0)=0 がいえますよ~

v3 2

途中で sinx≦x を利用するので, 先に sinx≦x の方を証明しておいたほうが
論の展開としてはスッキリしますね。






別解を考えてみましょう~~

 1-x^2/6≦sinx/x≦1 を証明する

x=0のときは (1)の不等式は 0≦0≦0 となり,成り立っていますね。
x>0において, x-x^3/6≦sinx≦x の各辺をxで割ると
符号の向きはそのままで, 1-x^2/6≦sinx/x≦1 が出てきます。
これを代わりに証明してみましょうcar-hiyo.gif


v2_20121208013850.jpg

ちなみにこの図では,青が y=sinx/x, 赤が y=1, 緑が y=1-x^2/6 です。
やはりx=0の近くでは3者の挙動は近いですね~~aomushi01.gif

まず, f(x)=sinx/x が x>0 で f(x)≦1 を満たすことを確かめます。
f(x)は x>0 において単調増加でも単調減少でもないので,論じるのが面倒臭いかと思いきや
x>1のときは sinx/x≦1/x<1 となることがすぐ分かるので
実質的には 0<x≦1 において f(x)≦1 を示す作業となります。
f(x)の導関数は分数関数になり扱いにくいので,導関数の分子を F(x) とおいて
F(x)≦0となることを確かめます。そのことから f’(x)≦0 を導きますよ~

v8_20121208005949.jpg

v4_20121208031622.jpg

v5_20121208031622.jpg


次は g(x)=sinx/x-(1-x^2/6)≧0 を証明します。
やはりg’(x)の分子に着目します~aicon431.gif


v7_20121208005949.jpg







 積分を利用する

x≧0 のとき A(x)<B(x) が成り立っているとします。
このとき, ∫_[0,x] A(t) dt < ∫_[0,x] B(t) dt が成り立ちます。
∫_[0,x] はt=0からt=xまでの定積分を表していると思ってくださいね♪
y=A(x) と y=B(x) のグラフと定積分の表す面積の関係なんかを見ると
ビジュアル的にも理解が出来るかと思います~aicon_bbs17.gif

(2)はこの手法を使って証明するのがスタンダードだと思うんですが
(1)でもそれをやってしまおうというわけです

(1)で証明すべき不等式は ∫_[0,x] (1-t^2/2)dt ≦ ∫_[0,x] cost dt ≦ ∫_[0,x] 1 dt
と書き直すことが出来ますね。
そこで, x≧0 のとき  1-x^2/2≦cosx≦1 が成り立つことをいえばいいわけです~
cosx≦1 については言うまでもないですね~aicon_bbs15.gif

v9_20121208005950.jpg

∫_[0,x] cost dt は図の斜線部の面積,∫_[0,x] 1 dt はタテが1,ヨコがxの長方形の面積です。



1-x^2/2≦cosx の方はちょっと面倒くさそうですね。
微分を利用してもいいんですけど,それだと今までの解法と大差ないので,
せっかくだからこちらもグラフの位置関係を使ってみましょう~

そこで,x>0において sinx≦x より強力な sinx<x が成り立つことを言っておきます。
上の sinx≦x の証明の代わりにこちらを採用してみましょう~

v16.jpg



t=0 のときは 1-t^2/2=cost の等式が成り立ちます。
t>0 のときに 1-t^2/2=cost の等式が成り立たないことを確かめてみます。
それが分かると y=cost と y=1-t^2/2 のグラフは t>0 では交わらないことが分かりますaicon344.gif

v10_20121208005950.jpg
v11_20121208010003.jpg

v12_20121208010003.jpg



という風に不等式が得られます。






次回は(2)以降をやっていきますねaicon156.gif
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タグ:北大 大学入試 数学 2012 微分 積分 三角関数 部分積分 はさみうちの原理

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