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2012年北大入試理系数学第3問その2

2012.12.10 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~~

問題はこちら箱ドットおにおん2mini

hmon3_20121208153558.jpg



今回は(2)からでしたねー
(1)に引き続いて不等式を証明する問題です~

真ん中の辺が定積分で表示されています。
これは部分積分を使えば計算できますね。
では,なんでわざわざ計算前の形で出題してるんでしょう。
何か意図があるんでしょうか。

という風に出題の狙いを探ってみれば解答の方針が立つかと思いますudon(2).gif

被積分関数が t sint ですね。ここに着目です。
いまの我々は,簡単に xsinx に関する評価式を得ることができます。
(1)で証明した不等式の各辺に x (≧0) を掛けてみましょう~
x^2-x^4/6≦xsinx≦x^2
が得られますね。
前回も述べましたが, x≧0 で A(x)≦B(x) が成り立っているとき
∫_[0,x] A(t) dt ≦ ∫_[0,x] B(t) dt が成り立つんでしたね。

これを適用してみましょう

u1_20121208153558.jpg


うまくいきましたね
では,(1)と同じような方針で証明したらどうなるでしょう。




 微分を用いて関数の増減を調べて不等式を証明する


f(x)=x^3/3-∫_[0,x] t sint dt とおいて
x≧0ならば, f(x)≧0 が成り立つことを確かめてみます。

定積分で表された関数の微分に関する公式を利用すると
実際に定積分を計算する作業が省けます。
つまり, f’(x)=x^2-x sinx は直ちに得られます。
もちろん定積分を計算してからそれを微分しても構いませんsanta03.gif

u2_20121208153559.jpg

f’(x)≧0 は(1)の結果を利用すると簡単に証明できます。

u3_20121208153559.jpg

x^3/3-x^5/30≦∫_[0,x] t sint dt 側も同様にやりますpiman.gif

u4_20121208153600.jpg


無事に証明ができましたね!





 sinx と -xcosx の評価式を辺々足してみる

さて,不等式中の定積分は計算すると sinx-xcosx になりましたね。
sinx に関する評価式は(1)で得られました。
-xcosx に関する評価式が追加で得られたら,辺々足して sinx-xcosx の評価式になります。
この方針で解くことは出来ないでしょうか。

-xcosx に関する評価式は(1)の不等式を,各辺を積分してxをかけた後に移項することで得られますonegai03t.gif



u5_20121208153600.jpg


得られた不等式は証明したいものより荒いものになってしまいました。
この方針で(2)の不等式を得るには sinx と -xcosx の評価式を
もう少し精緻なものにしなければならないようです。

前回の冒頭で,(1)の不等式が sinx のマクローリン展開から由来していることに
軽く触れました。それを踏まえて, sinx の評価式を(1)のものから
x-x^3/6+x^5/720-x^7/5040 ≦ sinx ≦ x-x^3/6+x^5/120 
に改変すると,今度はうまくいきますよ~curry02.gif



今回の問題は(3)の極限を求めることが最大の目的です。
(1)(2)はそのための下準備に過ぎません。
(3)の極限を求めることを主眼とするならば,(2)の不等式にこだわる必要は本当はなくて
x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040 ≦ sinx ≦ x-x^3/6+x^5/120
よりもうちょっと緩い
x-x^3/6 ≦ sinx ≦ x-x^3/6+x^5/120
を採用すれば実は十分だったりします。
その解法については後ほど触れてみます







いよいよ(3)です。
今述べたように,(1)(2)は(3)の極限を求めるために計算したものです。
x>0において,(2)の不等式の各辺を x^3 (>0) で割ってみましょう。
そうすると,もはやハサミウチをするだけで右側極限が得られます8269809.gif


u6_20121208153641.jpg

物凄くウッカリしやすいところですが,上の計算で得られたのは
答えの極限ではなくて,右側極限,すなわち数直線上を右側からx=0に近付けていった時の
極限であるということです。
(1)(2)の不等式はあくまで「x≧0」の時に成り立つものとして証明されたことを思い出しましょう8187095.gif

一般に lim_{x→0} f(x)=k であるとは
右側極限について lim_{x→+0} f(x)=k  かつ
左側極限について lim_{x→-0} f(x)=k  

が成り立つことと同値です。

したがって,今の場合、我々は左側極限についても考察をしなければならないわけですね8190575.gif
でもそれは実はすごい簡単で,極限を求めたい関数が偶関数になっていることを
確かめれば解決します。グラフがy軸に関して線対称になっているので,
右側からx=0に近づいた時の極限が1/3ならば,左側から近づいても1/3なわけです。

u7_20121208153642.jpg

u8_20121208153642.jpg

ここまで論じてようやく正解です。
左側極限の考察がなければ恐らく減点でしょうね~8257300.gif



偶関数であることに触れるのと大差無いですが
x<0のとき x=-t (t>0) とおくことによって
x→-0 を t→+0 に置き換えるやり方でも構いません

u10.jpg




ここで,再び sinx と -xcosx の評価式を用いた解法に戻ってみます。

 sinx と -xcosx の評価式を利用する

先ほど述べたように,(1)の不等式の代わりに
x-x^3/6 ≦ sinx ≦ x-x^3/6+x^5/120
を持ち出してくると,(2)よりは荒い評価式ではありますが(3)の極限を求めるには
十分な評価が得られます。
x-x^3/6 ≦ sinx は既に証明の仕方は述べてあるので,
sinx ≦ x-x^3/6+x^5/120 を示しておきましょう。


u12.jpg

あとは -xcosx の評価式を作って, sinx-xcosx の評価式へ発展させます。
ちょうど3次の項が右辺,左辺とも係数が1/3になるのでハサミウチの原理が適用できるようになります16.gif


u13.jpg
u14.jpg







 ロピタルの定理を利用する

受験数学の魔性の裏技,ロピタルの定理を使うと(3)の極限は瞬殺できます16054011.gif
ただし,高校生が自由に扱っていい呪文ではないので,答案で用いるのはなるべく控えて
検算用にしましょうね~(ロピタルと同等の計算をしても大丈夫な例も中にはあります)

u11.jpg



 マクローリン展開を使って解く

これも高校の範囲を超えるので,答案上では用いないほうが良いのですが
前回述べたsinxのマクローリン展開と,それとは別にcosxのマクローリン展開

v14.jpg

v13_20121208011140.jpg

を使って極限を求めることも可能なんです。


u9_20121208153643.jpg


ロピタルといいこれといい,なんだか瞬殺すぎてなんだかズルいですね~16053832.gif
せっかく高校生が一生懸命(1)(2)のような下準備をして挟み撃ちして極限を求めているというのに!


でもまぁ,世の中そんなもんなんです~
どうせ大学1年生の数学でやることなので,ちょっとだけ先取りして
こういう知識を仕入れておくと受験対策に活きてくることもありますよ~
余裕があったら覚えておきましょう15901731.gif







    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:北大 大学入試 数学 2012 微分 積分 三角関数 部分積分 ハサミウチの原理

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