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2012年北大入試理系数学第4問その1

2012.12.17 01:46|大学入試問題
どもども。

今回は今年の北大入試理系数学の第4問ですよ~

問題はこちら箱ドットおにおん2mini

hmon4.jpg


2次関数の問題です~
数学Ⅰの内容なので簡単かと思いきや,全5題ある大問の中で一番厄介なのがこれという
油断してると痛い目にあう問題ですね~

落ち着いてやらないと意外と混乱しちゃうかもしれません。

2つの2次関数のグラフの位置関係に着目して上手く条件を求めていくと良いのですが,
f(x)=0 と g(x)=0 の解の大小関係などに注目して解こうとするとなかなか面倒になりますよ~

というわけでy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの
頂点と軸の方程式を求めておきましょう~

a1_20121216220302.jpg


(1)はf(c)=g(c)となるcを求める問題です~

つまりy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの交点のx座標ですね~akaname.gif

これは簡単に求められるのでサクッと片付けましょう~

a2_20121216220303.jpg

文字式を含んだ割り算については,割る値が0にならないように注意しなければなりません。
a-b はいま0にはなりません。

この計算から分かるように2つのグラフの交点はただ1つだけです。
この交点の位置関係に着目すると(2)は楽に解くことができますeto_uma.gif


(2)は a<c<b であるときに f(x)<0 と g(x)<0 を同時に満たすxが
存在するための条件を求める問題ですよー


 f(x)<0 を満たすxが存在する条件は (f(x)の最小値)<0 であるとか
2次方程式 f(x)=0 の判別式Dが D>0 を満たすことなどで求められますね。
同様に g(x)<0 を満たすxが存在する条件は (g(x)の最小値)<0 
などから求めることができます。

気をつけて欲しいのは 「f(x)<0 を満たすxが存在する条件」 と
「g(x)<0 を満たすxが存在する条件」 共通部分を求めても答えにならないということです

この2つの共通部分というのは 
「f(x)<0 を満たすxが存在する かつ g(x)<0 を満たすxが存在する」
ための条件であって,これは
「何かしらのαとβが存在して, f(α)<0 かつ g(β)<0 が成り立つ」
ということです。αとβが等しい必要はありません。

いま求めたいのは
「何かしらのαが存在して, f(α)<0 かつ g(α)<0 が成り立つ」
のため条件なので上のものとは異なります。
あくまでも f(x)<0 と g(x)<0 が同時に成り立たなければいけないんです

さて,a<c<b という条件のもとで考えるので y=f(x) と y=g(x) の
グラフの位置関係のようになります。

          a3_20121216220303.jpg

2つの2次関数のグラフについて,「両方ともx軸より下にある範囲が存在する」条件を考えます。
f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たすxの範囲は,下の図の赤で囲んだ部分です。
この範囲にあるxにおいてはどちらのグラフもx軸より下を通っていますね。
この部分が存在するための条件は,交点の位置関係に着目すれば,
ちょうど f(c)<0 であるときだと分かりますねeto_tatsu.gif

a6_20121216220334.jpg

a5_20121216220304.jpg

a7_20121216220334.jpg


このように交点の位置に着目して考えれば簡単に答えが求められるのですが,
次は f(x)=0 と g(x)=0 の解の大小関係に着目してみます。

f(x)=0 の解は x=a±√(a^2-b)
g(x)=0 の解は x=b±√(b^2-a)

と書けます。

したがって, f(x)<0 ⇔ a-√(a^2-b)< x <a+√(a^2-b)
および    g(x)<0 ⇔ b-√(b^2-a)< x <b+√(b^2-a)

となります。

a-√(a^2-b)< x <a+√(a^2-b) と b-√(b^2-a)< x <b+√(b^2-a)
が共通部分を持つ条件を求めても良いわけです。
それはズバリ b-√(b^2-a) < a+√(a^2-b) ですhiyob_en.gif
根号内は正でなければならないこと(f(x)<0を満たすxと,g(x)<0を満たすxが存在すること)より
a^2-b>0,b^2-a>0 も成り立たねばなりません。

したがって,a<c<b という条件下では,
f(x)<0 と g(x)<0 を同時に満たすxが存在するための条件は
「b-√(b^2-a) < a+√(a^2-b) かつ a^2-b>0 かつ b^2-a>0 」
ということになります。

ただし,これはもっと簡潔な形で表示することができるので,
その簡潔な表現に直してやることが必要です。

しかしながら, b-√(b^2-a) < a+√(a^2-b) という条件式は
なかなか複雑なので,分かりやすい形に直すのは少し工夫が要りそうですねぇkaeru_en1.gif




a8_20121216220335.jpg
a9_20121216220335.jpg



そこで, a^2-b と b^2-a の大小関係に基づいて3パターンに分けて考察してみます。
すなわち, a^2-b>b^2-a の場合, a^2-b<b^2-a の場合,
そして a^2-b=b^2-a の場合です。

なぜ a^2-b と b^2-a の大小関係で分類するのかというと,
以下の計算で √(a^2-b)-√(b^2-a) という値が分母に出てくるからですm_0006.gif

a10_20121216220335.jpg

ここで,分母の √(a^2-b)-√(b^2-a) を払うのですが,
この値の正負によって不等号の向きが変わっちゃうんですねm_0025.gif

a11_20121216220336.jpg
a12_20121216220407.jpg

ある不等式 A<B と正数 k>0 が与えられたとき,
 A<B ⇔ kA<kB
が成り立ちます。今の場合では,⑥式は①式の定数倍なので①+⑥もまた①の定数倍です。
よって条件①は 2b+1<2√(b^2-a) に帰着されます。
そして2乗した物の大小関係から得られる 4a+4b+1<0 に更に帰着されますm_0071.gif



a13_20121216220407.jpg




a14_20121216220408.jpg

a15_20121216220408.jpg



以上から, 「4a+4b+1<0 かつ a^2-b>0 かつ b^2-a>0 」
という条件に帰着されました。
これに a<-1/2<b を加えたものを ab平面に図示すると以下の水色領域のようになります。
2つの放物線 b=a^2,a=b^2 はどちらも直線 a+b+1/4=0 に接しています。
よって,求める条件は 「4a+4b+1<0」 と同等になりますm_0250.gif


a16_20121217011817.jpg









f(x)=0 と g(x)=0 の解に着目する方針としては
次のようなものも考えられます。

f(x)<0 を満たすxの右端である x=a+√(a^2-b)

このときのg(x)の値 g(a+√(a^2-b)) を考えます。
これが負であるという条件に帰着させるものですm_0249.gif



a17_20121216220409.jpg


a18_20121216220425.jpg


      a19_20121216220425.jpg


やはり 4a+4b+1<0 がでてきました。以下に示すように
「a^2-b>0 かつ 4a+4b+1<0」 という条件は更に 「4a+4b+1<0」
に簡略化できます。

a20_20121216220426.jpg







最初の解法が瞬殺モノだっただけに,他の解法の面倒臭さが際立ちますね。
どのような解法を選ぶかで命運が分かれるパターンの問題だったようです

次回は(3)をやっていきますよ~~patikapa.gif









    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:北大 大学入試 数学 2012 2次関数 解の条件 グラフの位置関係

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