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2012年北大入試理系数学第4問その2

2012.12.19 03:01|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~

問題はこちら~くりmini

hmon4.jpg

2次関数の問題です~
前回は(2)までやったので今回は(3)をやっていきます~

まずは y=f(x) と y=g(x) のグラフの頂点と軸の方程式のおさらいです~nezumi02.gif



a1_20121216220302.jpg


2つのグラフはただ1つの交点だけ持ち,そのx座標は -1/2 です。

(3)では a<b のとき, f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在するための
必要十分条件を求めてそれを ab平面に図示するという問題です~


(2)で a<-1/2<b の場合を考えていました。
a<b という状況は, a<-1/2<b, -1/2≦a<b, a<b≦-1/2
に分けられます。
したがって,残りの -1/2≦a<b, a<b≦-1/2 の場合について考えればOKです~hamu01.gif



-1/2≦a<b の場合を考えてみましょう~
2つの関数のグラフの位置関係から考えると分かりやすいです。

実は g(a)<f(a)が成り立ちます~
f(x)<0 を満たす x の存在条件は 最小値<0 すなわち f(a)<0 
で与えられますが,この条件が成り立つとき f(a)<0 かつ g(a)<0
も成り立ちますね。

これはつまり, f(x)<0 を満たす x が存在すると
自動的に g(x)<0 を満たす x も存在するということです。

「 f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 f(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 f(a)<0 」


であるということなのです~xmas_santa.gif


b1_20121219010913.jpg

b2_20121219010913.jpg



a<b≦-1/2 の場合も同様で,今度は

「 f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 g(x)<0 を満たす x が存在する」
⇔ 「 g(b)<0 」


が成り立ちますよーxmas_tonakai.gif


b3_20121219010914.jpg



(ア),(イ),(ウ)で求められた条件式に基づいてab平面に図示します。
直線 a+b+1/4=0 は2つの放物線 b=a^2, a=b^2 に接していることに気をつけてください。
下図において,白色部分との境界部分は答えの領域には含まれません

b4_20121219021740.jpg





前回は f(x)=0 と g(x)=0 の解の大小関係に着目した別解を考えてみました。
(3)でもそれをやってみましょう~rabi_smile.gif

 f(x)=0 と g(x)=0 の解はそれぞれ
x=a±√(a^2-b), x=b±√(b^2-a)
でした。

最初の解法では(ア),(イ),(ウ)の3つの場合にわけて考察しましたが
このいずれの場合においても, f(x)<0 かつ g(x)<0 を満たす x が存在する条件は
「f(a)<0 かつ g(b)<0 かつ  b-√(b^2-a)<a+√(a^2-b) 」
で与えられます。

b5_20121219010915.jpg


(ア),(イ),(ウ)の場合分けが不要である代わりに,
前回の(2)の別解と同様に a^2-b と b^2-a の大小で場合分けをしますs2_sum_hotaru.gif

理由は √(a^2-b)-√(b^2-a) という値が計算過程で分母に出てくるからでしたね。

具体的な計算は前回の考察を参照してくださいね。

まずは a^2-b>b^2-a の場合をみてみます。

b6_20121219010916.jpg
b7_20121219011020.jpg

この2つの条件は実は1つにまとめることができます。
下の方ですが,「 a+b+1<0  かつ a+b+1/4<0 」 は 「 a+b+1<0 」
にまとめることができます。
さらに, 上の方は 「b≦-1/2」 下の方は 「b>-1/2」 で残りの条件が一致するので
1つにまとめることができるというわけです

b8_20121219011020.jpg


(B)(C)も同様にやってみます。

b9_20121219011021.jpg

  b10_20121219011022.jpg



あとは図示するだけですねmush.gif


b11_20121219021741.jpg












次回はラストの大問5をやっていきます~mug.gif













   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:北大 大学入試 数学 2012 2次関数 放物線 図形と方程式 領域図示

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