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2012年北大入試理系数学第5問

2012.12.26 04:15|大学入試問題
どもども。

北大の問題も今回でラストですよ~

問題はこちらぺんぎんmini


hmon5.jpg


確率の問題ですね~

最後の大問ということで,強力な問題が待ち構えているものだと思いきや
実は予想よりは易しい感じです。

1つ前の大問4の方がよほど厄介です~tawa02.gif

これといって面白い別解がたくさん見つかるような問題でもないので
さくっとやっつけてしまおうかと思います~

AとBが試合を続けて,Aが先にk勝する確率 P_k を求める問題ですよ~

といっても,実際の問題では k=2,3,4 の場合しか出てきません。

(1)から(3)までは P_2,P_3,P_4 をそれぞれ求める問題です。





(1)では P_2 を求めます。 
つまりAが先に2勝するということです。
3パターンしか無いので具体的に列挙してみてもいいですねsakura.gif

・Aが2連勝するとき
・1戦目はAが勝ち,2戦目はBが勝ち,3戦目はAが勝つとき
・1戦目はBが勝ち,2戦目はAが勝ち,3戦目もAが勝つとき


この3つです。
1戦目から順に勝者を書き上げて表示すると,この3つは

・ A A
・ A B A
・ B A A

になりますね~ こちらのほうがパッと見で状況が掴めやすいかもしれませんね

ポイントは次の点です。

・最後の試合はAが勝利すること,そしてそれが2勝目であること
・Bは多くとも1勝までであること

さて,P_2を計算してみましょう~

c2_20121226013528.jpg



この方針で(2)もやってみます。すなわち P_3 の計算です。
先に3勝するパターンは全部で10通りあります。
上の勝者を順に書き連ねる方式で表すと

・ A A A
・ A A B A
・ A B A A
・ B A A A
・ A A B B A
・ A B B A A
・ B B A A A
 A B A B A
・ B A A B A
・ B A B A A

です~


(1)とポイントは大体同じで

・最後の試合はAが勝利すること,しかもそれが3勝目であること
・Bは多くとも2勝までであること

です。

確率も計算しておきましょう~onpu16.gif


c6_20121226024126.jpg




さすがに(3)はこの方式で解くのはちょっと大変そうですね。
実は35通りもパターンがあります。
書き連ねていくのは時間もかかるし,見落としなんかもしそうです。
(1)と(2)で挙げたポイントを参考にして,列挙以外の方法を考えなければなりませんmikan01.gif


ついでなので,もっと一般のkに対して P_k を考えてみることにします。
Aが先にk勝するという場合です。

・最後の試合はAが勝利して,それがk勝目である
・Bは多くとも(k-1)勝である


というのがポイントです。
もし試合数が ℓ であったとすると,第 ℓ 戦目はAが勝利して,それが k 勝目になります。
また,第 (ℓ-1) 戦目までにAが (k-1) 勝して,Bが (ℓ-1)-(k-1) 勝します。
このときの確率は,反復試行の確率計算で求められますね


c3_20121226013529.jpg


ℓ の取り得る値を考えてみましょう。
最小になるのはAが k 連勝するときなので ℓ=k のときですね。
最大になるのはBの勝利数が一番多くなるとき,つまりAが k 勝,Bが (k-1)勝する場合なので
ℓ=2k-1 のときです。

というわけで ℓ=k,k+1,k+2,…,2k-1 の分の確率を全部足しちゃえば
P_k の値が求められますね

あとは k=2,3,4 を代入すれば(1)~(3)は即解決です~kabuto03.gif



c4_20121226013529.jpg
c5_20121226013530.jpg


(4)は確率の大小の問題です。
1/2<q<1 ならば P_3>P_4 となることを確かめる問題です。
先に3勝するのと先に4勝するのだと,ハードルの高い4勝のほうが
常に確率が低そうな気もしますが,実はそうでもないんです。
0<q<1/2 のときは P_4 の方が大きかったりするんです。面白いですね。

さて,(4)の大小の証明は P_3-P_4>0 を確かめるのが手っ取り早いです。
q=1-p であることに注意して計算してみると明快な形に因数分解できますよ~heart-ani01.gif




c7_20121226013544.jpg


P_4/P_3<1 を示すパターンでもOKですよーhaibisukasu01.gif



c8_20121226013545.jpg


P_3 を y=x^3+3x^3(1-x)+6x^3(1-x)^2
P_4 を y=x^4+4x^4(1-x)+10x^4(1-x)^2+20x^4(1-x)^3

としてグラフを描いたものが下の図です

c1_20121226034128.jpg

ちょうど真ん中の x=1/2 で大小が入れ替わりますね~

参考までに k=5(青), k=25(緑), k=100(赤) の場合の図も描いてみました。

c9_20121226034129.jpg

すべて (1/2,1/2) を通過しています。
またこの点に関して対称的にもなっていますね。
これはpとqの対称性によるものです。
P_kのpとqを入れ替えると,Bが先にk勝する確率になりますよね。
また 「Aが先にk勝する」 の余事象は 「Bが先にk勝する」 です。

P_k をもう少し詳しく P_k(p,q) と書くことにすると,
P_k(p,q)+P_k(q,p)=1
が成り立ちます。
すなわち, P_k(1-x,x)=1-P_k(x,1-x) が成り立ちます。

この式が上のグラフの対称性を表しています。
x=1/2 を代入すれば P_k(1/2,1/2)=1/2 も得られますねh-hokousya.gif










           
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:北大 大学入試 数学 2012 確率 反復試行の確率 確率の大小関係

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