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2012年東北大入試(後期)理系数学第3問その1

2012.08.16 13:11|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大入試(後期)の理系数学大3問をやっていきます~

問題はこちらtawa02.gif
m3

空間図形の問題です~
空間ベクトルあたりを駆使して解くとスッキリしそうですねakaname.gif
出てくる座標が互いの位置関係の把握が難しそうな値なので
与えられている状況を明快に認識するのはなかなか難しいですが,
必ずしも正確な空間認識に努めなくてもOKで,次の図のような程度の把握で十分だと思いますb_body_lazy_20120809140110.gif

e1.jpg

平面LはAを通り線分ADに垂直な平面で,線分BCをt:(1-t)に内分した点Nからこの平面Lに垂線NHを
下していて,このHの座標は何ざんす?ということを(1)では問われています。
今回はこの(1)を見ていきましょーcar2_tank.gif


さて,xy平面上の直線は一般形としてax+by+c=0という形の方程式を持っていますが,
次元を1個上げると,xyz空間上の平面はax+by+cz+d=0という形の方程式を持ちます~

まずは平面Lの方程式を求めてそれを利用する解法を考えてみます~kawauso.gif

平面Lの方程式を求めるやり方が色々ありますので,幾つか考えてみましょう~

求め方その1:(→AD)を法線ベクトルにもつ平面を考える
(注:(→AD)はベクトルADを指していると思ってね)

平面L上に任意に点P(X,Y,Z)を取ると,(→AD)=(1,1,1)と(→AP)は垂直になりますから
内積の関係式を与えることが出来ます。
そしてそれが,平面L上の点が満たす方程式になるわけですkaeru_yodare2.gif


e2.jpg

このように割と簡単に求めることが出来ましたkirakira.gif
このやり方が,平面の方程式を求める一番基本的なやり方になるかと思いますので
覚えておいて損はないかと思います~
特に「平面の方程式」は授業の中でオフィシャルに取り扱われることが必ずしも無い
(教科書などにコラム形式で「参考」みたいに載ってる程度のことが多い)項目なので~kitune.gif
ただ「平面の方程式」という表現は使われていなくとも,空間ベクトルの問題では,
「問題を解くために必要な関係式の1つ」として「平面の方程式」と同じ関係式が出てくることは多いです。
今回の問題はまさにそれですねm_0071.gif


求め方その2:三平方の定理を使う

先ほどと同様にL上の点P(X,Y,Z)を取ると△ADPは∠A=90°の直角三角形になりますね~
ということは三平方の定理を用いてX,Y,Zの満たす関係式を求めることが可能ですm_0245.gif


e5.jpg

求め方その3:点と平面の距離の公式を利用する

xy平面上における点と直線の距離の公式はおなじみだと思いますが,
それを空間版に発展させた点と平面の距離の公式というものがありますdog_happy.gif
公式の形もそっくりです~

e6.jpg

かつては授業で普通に基本公式として教えていたこともありましたが,
今では一部の数学好きの生徒さんを除いてはこの公式を知らないんじゃないかと思います~
空間ベクトルの問題では結構使い勝手のいい便利な公式なのですが,
授業で取り扱わないため試験などでは,別の意味でちょっと使いにくいのが難点heri01.gif

もし平面Lが原点を通るとしたら(→OA)⊥(→AD)より,(→OA)・(→AD)=0が成り立つはずですが
実際は(→OA)・(→AD)=1なので,平面Lは原点を含みません。
そこで,Lの方程式は ax+by+cz=1 の形で書けます。
(原点を含む場合は ax+by+cz=0 の形になります。)

e7.jpg
e8.jpg

求め方その4:球の接平面だと思う
AD⊥平面Lであるということは,点Dを中心とする半径AD=√3の球を考えるとこの球は平面Lと1点で接している
すなわち平面Lは点Aにおける球の接平面になっていますheart08.gif
平面幾何のときはxy平面上で円の接線の方程式を求める方法というのが色々ありましたね。
微分を用いたり判別式を用いたり。
同様の手法で3次元空間の場合は球の接平面が求めることが出来ます。
ここでは偏微分(特定の変数に関して微分する)を用いた接平面の公式に当てはめて求めてみますが,
判別式を用いた方法など高校数学の範疇でもちゃんと求めることが可能ですcurry02.gif


一般に2変数関数z=f(x,y)上の点(a,b,f(a,b))における接平面の方程式は次の公式で与えられます

e11.jpg

これの右辺はf(x,y)-f(a,b)の1次近似,すなわちTaylor展開したときの1次の項までの部分になっています。
詳しくは大学数学の微積分の授業あたりでやりますよ~carrot02.gif


この公式を用いるために球の方程式を「z=」の形に解きますc-08.gif


e9.jpg

平面y=0でこの球を切ったときの断面の円上にちょうど点Aがあるのですが,
その位置は断面の円の下半分にあたります(xz平面での座標がA(0,1)なので)。
そこで「±」がついた形で与えられた「z=」の式のうち,下半分を表す「-」側の方の式を採用します
あとは偏微分して数値を代入するだけですbye03.gif



e10.jpg

求め方その4:平面L上の1次独立な2つのベクトルをみつける
一般に直線のベクトル方程式は,直線上の1点Aを表すベクトル(→OA)と,直線の方向ベクトル(→d)を使って
(→OA)+k(→d) (k:実数) という形で与えられましたが,
同じ原理で平面のベクトル方程式を与えることが出来ます8164018.gif

(→AD)と垂直なベクトルで1次独立なものを何でもいいから2つ見つけてきます。
(→AD)との内積が0になればよいので,例えば(→m)=(1,-1,0),(→n)=(0,1,-1)
としましょう。
このとき,平面L上の任意の点P(x,y,z)について,
(→OP)=(→OA)+s(→m)+t(→n) (s,tは実数) の形に一意的に表すことが可能です。
(→OP)=(→OA)+s(→m)+t(→n)=(s,-s+t,1-t)
より, x=s, y=-s+t, z=1-t
と表わせるので,sとtを消去して x+y+z=1 を得ます。




さて,今回の問題の(1)は平面Lの方程式を求めなさいという設問ではなくてHという点の座標を求めるものでした。
でも,長くなってきたので続きは次回にしますね15901731.gif
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テーマ:算数・数学
ジャンル:学校・教育

タグ:東北大 入試 数学 受験 空間ベクトル 平面の方程式 法線ベクトル 内分 ベクトル方程式 2次関数

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