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角の二等分線の長さを求める公式

2013.01.08 00:13|数学
どもども。

センター試験が近付いて来ましたね~tawa02.gif

試験は1月19日・20日です。数学は2日目の20日です。

大体あと2週間くらいですかね。
だいぶ緊張感が高まっているかと思います~


今回はセンターでも使える1つの公式をご紹介いたします。

三角形の内角の二等分線に関する話題です。

三角形の中線の長さを求める場合,中線定理という教科書にも載るくらい有名な公式があります。
ところが,内角の二等分線の長さを求める公式というのはあまり知られていません。
しかし,二等分線の長さを求める問題はよく出題されますねー。

なんで教科書や参考書に載っていないのでしょうか。
もしかして,分かりやすい形をしたものにならないんでしょうか。

いやいや,実は結構分かりやすい形で表示することが出来るんですよ~dog_shy.gif
なぜ公式としての市民権を得ないのか分からないくらいなんです。

角の二等分線に関する定理としては,次のものはよく知られているかと思います~

e1_20130107224824.jpg

BD:CD の比が AB:AC と等しいことを利用して AD の長さを求めるというのが
基本的な解法パターンになってますよね。

では,その AD の長さを与える公式を与えてみましょう~

e2_20130107224824.jpg


あらまぁ,シンプルですね
△ABCの3辺の長さが与えられていれば,BDとCDの長さも求められるので
すぐに公式に当てはめてADの長さを計算できますよ~


まずは,この公式の証明を載せておきます。
△ABCの外接円を考えて,方ベキの定理と円周角の定理を使うことがキモになりますよーrabi_smile.gif


e3_20130107224825.jpg
  e4_20130107224825.jpg





では,さっそく公式を使ってみましょう~risu.gif
シンプルな問題を用意してみました~~


    e5_20130107224826.jpg



幾つかの定番解法と公式を使った解法を挙げてみますね~usagi.gif



 余弦定理を使う その1

まずは△ABCに余弦定理を適用して cos B を求めて,
次に△ABDに余弦定理を適用してADを求めるという解法です~

e6_20130107224826.jpg
e7_20130107224901.jpg


 余弦定理を使う その2

続いても余弦定理を使った解法です~
∠BAD=∠CAD であるので, cos∠BAD=cos∠CAD が成り立ちます。
AD=x とおいて,
△ABDと△ACDにそれぞれ余弦定理を適用して cos∠BAD と cos∠CAD を計算して
イコールで繋げて立式します~

e8_20130107224902.jpg


三角比を用いた解法は他にも色々考えることができそうです。
たとえば, cos∠BAD=cos∠CAD や sin∠BAD=sin∠CAD の値を実際に求めて
余弦定理や面積公式などと組み合わせて立式するなどですね。



 三平方の定理を利用する

三角比を用いない解法です~
主に高校受験の問題として考える場合によく模範解答として挙げられるような解法だと思います。
頂点Aから辺BCに垂線AHを下して,△AHDに三平方の定理を適用するという方針です。
BHとCHの長さを求めるやり方としては以下でやってる方法が便利です~zashiki.gif


e9_20130107224902.jpg
  e10_20130107224903.jpg



 ベクトルを使う

便利な道具であるベクトルを使ってみましょう~
ベクトルABを(→AB)のように書くことにします。
BD:DC=2:3と分かっているので(→AD)は(→AB)と(→AC)を使って表示できます。
あとは内積 (→AB)・(→AC) を求めておけば
|(→AD)|^2 を計算することが出来ますよ~~aicon_bbs15.gif



e11_20130107224903.jpg




 今回の公式を使う

では最後に今回の公式を使ってスパッとADの長さを求めてしまいましょう~aicon_bbs17.gif


e12_20130107224904.jpg




どの解法も計算過程は多少面倒にはなる傾向がありますが,
どうせそうなるなら一気に答えが出せるこの公式を使うのが多少は手早いかもしれません。
場合によってはADを求める設問の前に,下準備で cos B や内積 (→AB)・(→AC) や 
(→AD)を計算させる設問があることなどもあります。
臨機応変に対応するのが良いですね~kusyami01.gif









 おまけ

今回の公式を,面積に着目して証明する面白い方法をネット上で見かけたので
ここで紹介しておきます~
      

e13_20130108031719.jpg

図のように垂線DP,DQを引きます~

△ADP≡△ADQ より, DP=DQ なので
図形の組み合わせ方を変えて,下図のように2つの三角形を作ることができます~

e14_20130108031719.jpg

このとき, ∠A=∠BDP+∠CDQ になっていることに注意しましょう~
この角の大きさをθとおきますね

△ABC=(1/2)×AB×AC×sinθ
2つ目の図の青い三角形=(1/2)×AD×AD×sinθ
2つ目の図の黄緑の三角形=(1/2)×CD×BD×sinθ


∴ (1/2)×AB×AC×sinθ=(1/2)×AD×AD×sinθ+(1/2)×CD×BD×sinθ

両辺を (1/2)sinθ (≠0) で割って移項すると,

AD^2=AB×AC-BD×CD が得られます~

したがって, AD=√(AB×AC-BD×CD) が得られますね!






    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:三角形 角の二等分線 公式 幾何学 受験 テクニック 小技

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