角の二等分線の長さを求める公式
2013.01.08 00:13｜数学｜
どもども。
センター試験が近付いて来ましたね～
試験は1月19日・20日です。数学は２日目の２０日です。
大体あと２週間くらいですかね。
だいぶ緊張感が高まっているかと思います～
今回はセンターでも使える１つの公式をご紹介いたします。
三角形の内角の二等分線に関する話題です。
三角形の中線の長さを求める場合，中線定理という教科書にも載るくらい有名な公式があります。
ところが，内角の二等分線の長さを求める公式というのはあまり知られていません。
しかし，二等分線の長さを求める問題はよく出題されますねー。
なんで教科書や参考書に載っていないのでしょうか。
もしかして，分かりやすい形をしたものにならないんでしょうか。
いやいや，実は結構分かりやすい形で表示することが出来るんですよ～
なぜ公式としての市民権を得ないのか分からないくらいなんです。
角の二等分線に関する定理としては，次のものはよく知られているかと思います～
BD：CD の比が AB：AC と等しいことを利用して AD の長さを求めるというのが
基本的な解法パターンになってますよね。
では，その AD の長さを与える公式を与えてみましょう～
あらまぁ，シンプルですね
△ABCの３辺の長さが与えられていれば，BDとCDの長さも求められるので
すぐに公式に当てはめてADの長さを計算できますよ～
まずは，この公式の証明を載せておきます。
△ABCの外接円を考えて，方ベキの定理と円周角の定理を使うことがキモになりますよー
では，さっそく公式を使ってみましょう～
シンプルな問題を用意してみました～～
幾つかの定番解法と公式を使った解法を挙げてみますね～
余弦定理を使う その１
まずは△ABCに余弦定理を適用して cos B を求めて，
次に△ABDに余弦定理を適用してADを求めるという解法です～
余弦定理を使う その２
続いても余弦定理を使った解法です～
∠BAD＝∠CAD であるので， cos∠BAD＝cos∠CAD が成り立ちます。
AD＝ｘ とおいて，
△ABDと△ACDにそれぞれ余弦定理を適用して cos∠BAD と cos∠CAD を計算して
イコールで繋げて立式します～
三角比を用いた解法は他にも色々考えることができそうです。
たとえば， cos∠BAD＝cos∠CAD や sin∠BAD＝sin∠CAD の値を実際に求めて
余弦定理や面積公式などと組み合わせて立式するなどですね。
三平方の定理を利用する
三角比を用いない解法です～
主に高校受験の問題として考える場合によく模範解答として挙げられるような解法だと思います。
頂点Aから辺BCに垂線AHを下して，△AHDに三平方の定理を適用するという方針です。
BHとCHの長さを求めるやり方としては以下でやってる方法が便利です～
ベクトルを使う
便利な道具であるベクトルを使ってみましょう～
ベクトルABを（→AB）のように書くことにします。
BD：DC＝２：３と分かっているので（→AD）は（→AB）と（→AC）を使って表示できます。
あとは内積 （→AB）・（→AC） を求めておけば
｜（→AD）｜^2 を計算することが出来ますよ～～
今回の公式を使う
では最後に今回の公式を使ってスパッとADの長さを求めてしまいましょう～
どの解法も計算過程は多少面倒にはなる傾向がありますが，
どうせそうなるなら一気に答えが出せるこの公式を使うのが多少は手早いかもしれません。
場合によってはADを求める設問の前に，下準備で cos B や内積 （→AB）・（→AC） や
（→AD）を計算させる設問があることなどもあります。
臨機応変に対応するのが良いですね～
おまけ
今回の公式を，面積に着目して証明する面白い方法をネット上で見かけたので
ここで紹介しておきます～
図のように垂線DP，DQを引きます～
△ADP≡△ADQ より， DP＝DQ なので
図形の組み合わせ方を変えて，下図のように２つの三角形を作ることができます～
このとき， ∠A＝∠BDP＋∠CDQ になっていることに注意しましょう～
この角の大きさをθとおきますね
△ABC＝(1/2)×AB×AC×sinθ
２つ目の図の青い三角形＝(1/2)×AD×AD×sinθ
２つ目の図の黄緑の三角形＝(1/2)×CD×BD×sinθ
∴ (1/2)×AB×AC×sinθ＝(1/2)×AD×AD×sinθ＋(1/2)×CD×BD×sinθ
両辺を (1/2)sinθ （≠０） で割って移項すると，
AD^2＝AB×AC－BD×CD が得られます～
したがって， AD＝√（AB×AC－BD×CD） が得られますね！
センター試験が近付いて来ましたね～
試験は1月19日・20日です。数学は２日目の２０日です。
大体あと２週間くらいですかね。
だいぶ緊張感が高まっているかと思います～
今回はセンターでも使える１つの公式をご紹介いたします。
三角形の内角の二等分線に関する話題です。
三角形の中線の長さを求める場合，中線定理という教科書にも載るくらい有名な公式があります。
ところが，内角の二等分線の長さを求める公式というのはあまり知られていません。
しかし，二等分線の長さを求める問題はよく出題されますねー。
なんで教科書や参考書に載っていないのでしょうか。
もしかして，分かりやすい形をしたものにならないんでしょうか。
いやいや，実は結構分かりやすい形で表示することが出来るんですよ～
なぜ公式としての市民権を得ないのか分からないくらいなんです。
角の二等分線に関する定理としては，次のものはよく知られているかと思います～
BD：CD の比が AB：AC と等しいことを利用して AD の長さを求めるというのが
基本的な解法パターンになってますよね。
では，その AD の長さを与える公式を与えてみましょう～
あらまぁ，シンプルですね
△ABCの３辺の長さが与えられていれば，BDとCDの長さも求められるので
すぐに公式に当てはめてADの長さを計算できますよ～
まずは，この公式の証明を載せておきます。
△ABCの外接円を考えて，方ベキの定理と円周角の定理を使うことがキモになりますよー
では，さっそく公式を使ってみましょう～
シンプルな問題を用意してみました～～
幾つかの定番解法と公式を使った解法を挙げてみますね～
余弦定理を使う その１まずは△ABCに余弦定理を適用して cos B を求めて，
次に△ABDに余弦定理を適用してADを求めるという解法です～
余弦定理を使う その２続いても余弦定理を使った解法です～
∠BAD＝∠CAD であるので， cos∠BAD＝cos∠CAD が成り立ちます。
AD＝ｘ とおいて，
△ABDと△ACDにそれぞれ余弦定理を適用して cos∠BAD と cos∠CAD を計算して
イコールで繋げて立式します～
三角比を用いた解法は他にも色々考えることができそうです。
たとえば， cos∠BAD＝cos∠CAD や sin∠BAD＝sin∠CAD の値を実際に求めて
余弦定理や面積公式などと組み合わせて立式するなどですね。
三平方の定理を利用する三角比を用いない解法です～
主に高校受験の問題として考える場合によく模範解答として挙げられるような解法だと思います。
頂点Aから辺BCに垂線AHを下して，△AHDに三平方の定理を適用するという方針です。
BHとCHの長さを求めるやり方としては以下でやってる方法が便利です～
ベクトルを使う便利な道具であるベクトルを使ってみましょう～
ベクトルABを（→AB）のように書くことにします。
BD：DC＝２：３と分かっているので（→AD）は（→AB）と（→AC）を使って表示できます。
あとは内積 （→AB）・（→AC） を求めておけば
｜（→AD）｜^2 を計算することが出来ますよ～～
今回の公式を使うでは最後に今回の公式を使ってスパッとADの長さを求めてしまいましょう～
どの解法も計算過程は多少面倒にはなる傾向がありますが，
どうせそうなるなら一気に答えが出せるこの公式を使うのが多少は手早いかもしれません。
場合によってはADを求める設問の前に，下準備で cos B や内積 （→AB）・（→AC） や
（→AD）を計算させる設問があることなどもあります。
臨機応変に対応するのが良いですね～
おまけ今回の公式を，面積に着目して証明する面白い方法をネット上で見かけたので
ここで紹介しておきます～
図のように垂線DP，DQを引きます～
△ADP≡△ADQ より， DP＝DQ なので
図形の組み合わせ方を変えて，下図のように２つの三角形を作ることができます～
このとき， ∠A＝∠BDP＋∠CDQ になっていることに注意しましょう～
この角の大きさをθとおきますね
△ABC＝(1/2)×AB×AC×sinθ
２つ目の図の青い三角形＝(1/2)×AD×AD×sinθ
２つ目の図の黄緑の三角形＝(1/2)×CD×BD×sinθ
∴ (1/2)×AB×AC×sinθ＝(1/2)×AD×AD×sinθ＋(1/2)×CD×BD×sinθ
両辺を (1/2)sinθ （≠０） で割って移項すると，
AD^2＝AB×AC－BD×CD が得られます～
したがって， AD＝√（AB×AC－BD×CD） が得られますね！
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