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2012年センター試験数学Ⅱ・B 第1問 [2]

2013.01.15 22:53|大学入試問題
どもども。

センター試験が間近です

毎年のことですが,
数学ⅠAに比べると数学ⅡBは非常に時間が足りない印象があります。

1つの問題に多くの時間を割くことができません。
これは難しそうだとか面倒くさそうだと思った問題は一旦飛ばして
先に進んだほうが結果的に多く得点できる場合があります。
この辺はもうその場で臨機応変に作戦を変えていくしかありません。
あと2分あれば答えが出せたのにあの問題を一旦飛ばしておけば良かった
みたいな作戦ミスはありがちです。
基本的に計算量が多いので,
仮にそれが解ける問題だったとしても,計算途中で時間切れになってしまう事が考えられるんですねeto_inu.gif

昨年の問題では,初っ端の第1問の三角関数の問題がなかなかの難問でしたeto_tora.gif
焦れば焦るほどパニクって「あ゛~~~~っ」と頭をかきむしりたくなっちゃうような
タイプの問題です。
いきなりペースを崩された受験生が多くいたみたいです。
こんなトコでつまずくはずがない!と心のどこかで高をくくっていた人ほど
出鼻を挫かれてしまったのではないでしょうか

それに加えて意地っぱりな性格だと,そこで冷静な判断を失って,
何としてでもこれを解いてからじゃないと先に進まない!
という作戦に走ってしまう可能性もあるので,時間内に最後まで解ききれないという
不満足な結果になってしまうかもしれません。


今回はその三角関数の問題を扱ってみようと思います~

問題はこちら~算数mini



f20.jpg
f21.jpg



加法定理などをガンガン使う問題とかではなく,
角の大きさを考察するごくごく初歩的な内容の問題なのですが,
こういう問題こそ意外と厄介なんですよねー

sinα=cos2β を満たすα,βの間の関係を冷静に解析できるかがポイントです。

1つのαに対して2つのβの値が対応します。
このβを求める方法は色々ありますが,
単位円を用いて図で考えるのが一番手っ取り早いかと思われます。


まずは α=π/6 のときのβを求めよ,というので
これは cos2β=sinπ/6=1/2 を満たすβを考えるだけなので
苦労はないでしょう

f0.jpg


ここからが本番です~cat_1.gif

2つあるβのうち,小さいほうをβ_1,大きいほうをβ_2とします。
β_1,β_2を求めるのですが,αがπ/2より大きいか小さいかで値が変わってきます。




 cos(π/2-θ)=sinθ の公式を利用する

sinα=cos2β だといまいちピンとこないので,左辺もcosにしてしまおう
という発想を試してみましょう。
cos(π/2-θ)=sinθ の公式より, cos(π/2-α)=sinα です。
cos(π/2-α)=cos2β とすれば,αとβの関係性が少し見えやすくなりそうですね。

この式から, π/2-α=2β という事になるかと言えば,そうはなりません。

cosθ=cos2β であるとき,θは±2βか,それに2πの整数倍を加えたものになります。
すなわち θ=2β+2π×n または -2β+2π×n (n:整数)
と書けます。

いま,θ=π/2-α とおけばいいので,
π/2-α=2β+2π×n または -2β+2π×n (n:整数)
と書けますcar2_tank.gif

f1_20130115202806.jpg

0≦2β≦2π なので,この範囲に収まるようにnの値を決めていきます。
この際, 0≦α<π/2 の場合と π/2≦α≦π の場合とで結果が変わります~

f2_20130115202806.jpg

2つのβが出て来ましたね
ただ,どちらが大きい方なのかよく分からないですね。
差をとって正か負か調べてみましょう~


f3_20130115202807.jpg


π/2≦α≦π の場合も同様にやりますよーcurry.gif



f4_20130115202834.jpg


 和積の公式を使う

cos(π/2-α)=cos2β を cos(π/2-α)-cos2β=0 の形にすると
和積の公式を利用できますね~
ただ,公式を正しく覚えていないと間違いますから注意です~dog_happy.gif


f7_20130115202836.jpg
f8_20130115202836.jpg

この式より, π/4ーα/2±β=nπ (n:整数) が得られます。
nをどのように取るかは最初の解法と同様にαの値によって変わってきます~eto_mi.gif


f9_20130115202836.jpg
f10_20130115202940.jpg

π/2≦α≦π の場合も同様にやりますよー

f11_20130115202941.jpg




 単位円を使って考える

次は図を使って考えてみましょう~

単位円上の点P(cosα,sinα)のy座標がsinαです。
では,x座標がsinαになるような点はどう書けるでしょうか。
単位円と直線 x=sinα との交点を考えればいいですね。
y座標の大きい方をQ,小さい方をRとします。
それは,0≦α<π/2の時は, Q(sinα,cosα)とR(sinα,-cosα)の2つです。
そして,OQまたはORとx軸のなす角が2βなわけですね!
すなわち,これらの点が(cos2β,sin2β)と書けます。

PとQはx座標とy座標が入れ替わった関係の点なので,直線y=xに関して対称です。
一方QとRはx軸に関して対称です。
対称点とか小難しいこと考えなくても,cos(π/2-α)=sinα の関係式などから
考察することもできます。

あとは図を描いて2βの値を読み取ります~hamster_2.gif


f12_20130115202941.jpg

  f13_20130115202942.jpg


π/2≦α≦π の場合は π-α に着目すると分かりやすいです~hiyob_en.gif
ちなみに, Q(sinα,-cosα)とR(sinα,cosα) になるので
Rのほうが,Pの直線y=xに関する対称点になります。

f14_20130115202942.jpg





 y=sinx と y=cosx のグラフを考える
y=cosx (0≦x≦2π) のグラフと直線 y=sinα の交点のx座標が2βです。
2β_1は 0≦x≦π/2 の範囲に,2β_2は 3π/2≦x≦2π の範囲にあることが分かります。
y=cosx のグラフは直線 x=π に関して線対称なので
(2β_1+2β_2)/2=π が成り立ちますよ~m_0025.gif


f15_20130115202943.jpg
f16_20130115203007.jpg
f17.jpg
f18.jpg
f19.jpg





いずれのやり方も,冷静にやらないとパニくってしまいそうですね。
β_1とβ_2の値が分からないと後半戦の問題が解けないので,困ったもんです。
α+(β_1)/2+(β_2)/3 の値は最初の解法の所で求めていましたね。
0≦α<π/2 の場合と π/2≦α≦π とで値が変わってきますが
それぞれの範囲での取り得る値の範囲を合体させれば全体の取り得る値の範囲がわかります~m_0172.gif


f5_20130115202835.jpg

この範囲には π/2 が含まれるので,
α+(β_1)/2+(β_2)/3=π/2 のときに
y=sin{α+(β_1)/2+(β_2)/3} は最大値1を取りますniwatori.gif


f6_20130115202835.jpg



地味に計算量もある問題なので,無事に最後まで解ききるのは結構大変です。
最後の答えも 3π/22 という三角関数の問題としてはあまり見慣れない値なので
答えが合ってるか不安で仕方ない面もありそうです。
答えが変な値だと無駄に丁寧に見直しをして時間を奪われやすいですね。
一応,「ハヒ」の形から分母が2桁だということが分かってるので
かろうじて少しは気が休まりますがrabi_nomal.gif





それでは本番試験,リラックスしながら本気を出して頑張ってくださいね~





   
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タグ:センター試験 2012 三角関数

コメント

またまたお邪魔してましたm(__)m

cosθ=cos2β であるとき,θは±2β か,それに2πの整数倍を加えたものに なります。 すなわち θ=2β+2π×n または -2β+2π×n (n:整数) と書けます。

この文章の意味が理解できませんでし(>_<)

もしよければ、
詳しく教えてくださりませんか?

理解能力不足でごめんなさい(__)


No title

>瑞希さん

コメントありがとうございます~v-22

cosθ=cos2β を cosθ=1/2 や cosθ=√3/2
と同じような三角方程式
だと思いましょう。
単位円を使って考えることが多いと思うので

http://blog-imgs-64.fc2.com/m/a/t/mathnegi/c21_20140316203925a32.jpg

この画像を見ながら考えてみましょう~
通常, cosθ=1/2 だったら直線 x=1/2 と単位円の交点を考えて
θ=±π/3 を見つけます。一般角で考えると
±π/3+2π, ±π/3+4π, ±π/3+6π, …… なども入れなきゃいけないので 
θ=±π/3+2π×n (n:整数) というのが解になりますよね。

これと同じ発想で cosθ=cos2β を考えてみると
直線 x=cos2β と単位円の交点に着目して
θ=±2β という2つの解がとりあえず見つかるはずです。
一般解を考えると θ=±2β+2π×n (n:整数) 
になるというわけです~

cosθ=cos2β というビジュアルだと
右辺も文字や cos を含んでいるので分かりにくい部分もありますが
基本的には  cosθ=1/2 と同じようなもんだと思えば
怖くないというわけです~ v-285
非公開コメント

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