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2013年日本数学オリンピック予選 第1問

2013.01.20 23:47|数学
どもども。

センター試験受けた方は,存分に実力を発揮できたでしょうか??
また後日,センターの問題については解説記事を作ってみたいと思います~yotuba01.gif


センター試験より数日前の14日は日本数学オリンピックの予選がありました~
今年も骨の折れる問題の目白押しです~

1日1問ずつ大雑把に取り扱ってみたいと思います~

ただ,間違ってる部分とかもあるかもしれないので
間違ってたら教えてね

今日は第1問です~~

問題はこちらから~箱ドット2mini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html

整数の問題です~

最小公倍数が2100になる3つの自然数x,y,zの和 x+y+z の最小値を求める問題です~bakeneko.gif


2100=2^2×3×5^2×7 なので
2100の約数をうまーく3つに分ける作業をすることになります~

とりあえず試しに何も考えないで適当に約数を割り振ってみます。

x=2×7,y=3×5,z=2×5

このように割り振ってみると,3数の最小公倍数は2100ではなくて 2×3×5×7=210
になってしまいます。

g1.jpg


2個ある2はバラバラにしないでセットにしておかなければいけませんakaname.gif
5についても同様です。

x=3×4,y=7×25,z=1 のような感じですね。



余計な約数を追加しても最小公倍数が2100になることがあります。

x=3×4,y=7×25,z=2×3×5×7 のような感じですね。

余計なものを増やしたら3数の和も当然大きくなってしまうので,
そんなややこしいことはする必要はありません~
xyz=2100の場合を考えれば十分です~dolphin.gif





さて,参考までに相加・相乗平均の関係を使って最小値の目安を出してみましょう~

g2_20130120232531.jpg

もう少し詳しく見ると, 12.8^3<2100<13^3 なので
12.8×3=38.4 なので39くらいを目標目安にしてみるとよいです。


x,y,zのうち1つは25の倍数なので,xを25の倍数と仮定しましょう。
xの候補としては25,25×3,25×3×4などがありますが,
25以外は50より大きいですね。最小でも25×3=75です。
x+y+z<50 となるように出来る可能性があるので,
一旦 x=25 とおいておきましょう。
もしも x+y+z<50 となるように出来たら,xは25で確定ですdrink_juice.gif



y≧z と仮定して,残りのy,zの組合わせを考えてみると,
その中で x+y+z が最小になるのは x+y+z=44 になるときであることが分かります。
これは50より小さいので,これが求める最小値です~dog_love.gif


g3.jpg
g4.jpg





    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 日本数学オリンピック 予選 整数 最小公倍数 最小値

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