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2013年日本数学オリンピック予選 第3問

2013.01.22 00:00|数学
どもども。

今回は先日の日本数学オリンピック予選の第3問をやりますよ~

間違ってる箇所やエレガントな解法とかあったら教えてね~

問題はこちらから~算数mini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html

図形の問題です~
星形の図形があって真ん中の五角形の面積を出せというものなんですが,
問題文に添えられてる図が実は若干うさんくさいもので
絶妙にテキトーに描かれていますsosu.gif


というのは実はB_1という点は円の中心になってるんですよ~star-ani01.gif

何も知らずに問題解いてると,途中で
「ん?なんかオカシイゾ…?何か間違えたかな??
と変な矛盾に突き当たります。
そこで,「あなるほど,B_1と中心が一致するんか~」と気づきます。

そういう背景があるので,
円の中心OはB_1とは別物と仮定して矛盾を導く背理法を取り入れてみたいと思いますeto_tori.gif


ちなみに,図形は左右対称なので中心Oは直線A_1B_1上のどこかにあります。
したがって,背理法の仮定により,線分OA_3が線分A_3A_5上で重なっているということはありません。


下の図では60°になる角の一部に赤印がついています。

i1.jpg

着目して欲しいのが ∠OPA_4=∠A_5B_1A_4=60° となっていることです。
なんかおかしいですね…!?
同位角が等しいので OA_3 // A_5A_3 になりますが,
この2つの線分はA_3という交点を持っています。
平行線は交点を持ってはいけないので矛盾ですねladybug.gif



h5_20130121011956.jpg
   i3.jpg


中心がB_1であることさえ分かってしまえば,
あとは30°とか60°とか90°のような角が
いくらでもあるので面積を出すのは容易い仕事ですね~korobo.gif



i2.jpg
i4.jpg






   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 日本数学オリンピック 予選 円周角の定理 背理法 中心角の定理 星形

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