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2013年日本数学オリンピック予選 第4問

2013.01.23 00:00|数学
どもども。

今回は今年の日本数学オリンピック予選の第4問です~

問題はこちらから~もなたんぺんぎんmini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html

多項式の係数に関する問題です~

4つの係数の和を求めなさいというシンプルな問題ですね

式を展開して係数を足せば答えが出てくるんで
ある意味,何も悩む必要のない問題とも言えますし
数学が得意というわけでもない普通の中学生や高校生でも答を出すことが可能な問題でもありますinsect_kuwa_m.gif
もちろん展開するのはメンドクサイですけどね~~
しかしながら9次式くらいならまだ何とかいけるかもしれませんね。
これがもっと次数の高い式であったならば,
展開すればイイジャナイだなんて気安くは言えなくなりますねkaeru_yodare1.gif


展開という,そんな面倒なことをしなくても
この問題はあっという間に解くことができます
個人的には12問の中でこれが一番楽勝でしたm_0071.gif


ポイントは添字が偶数である係数ばっか足してるコトです。
1つ1つの係数を求めなくても一気に和を求めるうまいやり方があります。

与えられた9次式をf(x)とおきましょう。

f(x)=a_9x^9+a_8x^8+a_7x^7+……+a_1x+a_0

なので,

f(1)=a_9+a_8+a_7+……+a_1+a_0

が成り立ちます。同様に,

f(-1)=-a_9+a_8-a_7+……-a_1+a_0

も成り立ちます。

ウフフ,もうお分かりですねdog_happy.gif
f(1)とf(-1)を足せば添字が奇数の部分は消えて
偶数の係数の和が出てきますよ~
a_0は余計なので引いてあげましょうね


j1_20130120230439.jpg



ちなみに,f(x)をしっかり展開すると次の式になりますよ~rose03.gif


j2_20130120230440.jpg






    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 日本数学オリンピック 予選 多項式 展開式 係数

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