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2013年日本数学オリンピック予選 第5問

2013.01.24 00:00|数学
どもども。

今日は今年の日本数学オリンピック予選の第5問をやっていきます~

間違ってたら是非教えてね~

問題はこちら~くりmini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html

第3問に続いての図形の問題です~
2つの円の半径比を求める問題です~~sakura02.gif


キーワードは「方ベキの定理」「相似」「平行」といったところですかね~

k1_20130120230440.jpg

図において SP//QR となっていることに気付けるかどうかが勝負の分かれ目だと思います~katorisenko02.gif



まずは方ベキの定理を使うことでXPとXQの長さは求めることができます

k2_20130120230441.jpg

次に着目すべきは,角度です。
接弦定理によって ∠SPX=∠PQS=∠QRP を導くことができますkatudon.gif

同位角が等しいので, SP//QR になります。
錯角が等しくなるので ∠SPQ=∠PQR です~

以上から △PQS∽△QRP をいうことができますよーheart09.gif

円O_1とO_2はこの2つの相似な三角形それぞれの外接円なので
半径の比は相似比と一致しますね

平行線と線分の比の関係から XS:SQ=XP:PR となることを利用すれば
相似比 SQ:PR も計算出来ますよ~16053835(1).gif


k3_20130120230441.jpg
k4_20130120230451.jpg






        
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 日本数学オリンピック 予選 方ベキの定理 相似 外接円 平行線

コメント

コメントありがとうございます~~

方ベキの定理の正体は,ただの相似計算なので
例えば相似の話に置き換えることなんかが出来ますね!
図形問題は様々なアプローチの仕方が考えられるジャンルなんで
もっと鮮やかな解法とかもあるのかもしれないですが
御存知でしたら是非教えてくださいませ~♪

ちなみに,問題文へのリンク先ページの下部には
答えも(値だけですが)載っていますが,そこに挙げられている
大問5の答えが2/9の3乗根という形になっています。
一方で,自分が出した答えは6の3乗根を3で割ったものになってます。
分母の3を根号の中に入れてやると,
(6/3^3)の3乗根,すなわち2/9の3乗根になるので
結局同じ値です。分母を有理化してあるだけですね。

No title

結局、円の半径の比(相似比)というものを、どの線分の比と考えるか、がポイントのようですね。
円の半径を求めようとしてもどうにもなりそうにないので、少し工夫する必要があるということでしょうか。
 わたしは△XQPと△XQRの相似比として計算しました。
それだと円の半径との対応が若干分かりにくいですが、わたしとしてはこちらのほうがしっくりきました。

No title

コメントありがとうございます~

確かに △XPQ と △XQR の相似性に着目するという発想でも解けますねー。
いずれにせよ,円の半径を直接求めて比を取るよりも
何らかの相似な図形を見付けてその相似比に帰着させる方が早い
というのがポイントなんだと思います~
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