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2012年東北大入試(後期)理系数学第3問その2

2012.08.17 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きで今年の東北大入試(後期)の理系数学第3問の(1)をやっていきます~eto_uma.gif

問題はこちらyotuba14.gif
m3

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-6.html

前回は平面Lの方程式を様々な方法で求めてみたわけなのでした~eto_tori.gif

(1)を解く方法としては,この平面Lの方程式を利用するもの,しないもの両方あります。
せっかく平面Lの方程式を求めたので,まずはそれを利用する解法を幾つか考えてみます~hiyos.gif


huririhi.gif平面Lの方程式を利用する その1

直線NHのベクトル方程式を求めて,直線NHと平面Lの交点としてHの座標を求めてみましょうdog_angry.gif
直線NHは,「点Nを通るADに平行な直線」として特徴付けられます。
よって直線NH上の点は(→ON)+k(→AD) (k:実数)の形で表示され,
それが(→OH)を表すときのkの値を求めればよいことになりますねdango.gif
平面Lの方程式x+y+z=1に代入して求めればOKです~

e2.jpg

e3.jpg

e4.jpg



huririhi.gif平面Lの方程式を利用する その2

平面Lの方程式より,Hの座標は(X,Y,1-X-Y)の形で書けます。
次は,はじめからHの座標を(X,Y,1-X-Y)とおいてXとYを求めてみます。
(→HN)//(→AD)より,(→HN)=k(→AD) (k:実数)と書けます。
このkを求めて答えを導きますよ~m_0032.gif


e13.jpg


huririhi.gif平面Lの方程式を利用する その3

今度は線分BCを最初に平面L上に射影してしまう作戦でやってみましょうm_0006.gif
HはNから平面Lに下した垂線の足でしたが,同様にBとCからも平面Lに垂線を下して,その足をE,Fとおきます~

(注:ところで「垂線の足」という言葉は現在ではかなり死語に近いらしいです。要は垂線を下した先の点,線分や平面と垂直に交わってる点のことです,ここに色々書いてあります:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/question.htm)

E,Fの座標は平面Lの方程式を利用して求めることが出来ます。
BE//NH//CFなので,平行線と線分比の関係から BN:NC=EH:HF=t:(1-t) が成り立ちます。
したがって,線分EFをt:(1-t)に内分する点を求めればOKですsuika.gif


e16.jpg



ところで,EとFを求めるときに出てきたpとqの値にちょっとだけ着目してみます。
どちらも負なんですが,これが何を意味するか分かりますか?saboten.gif
上の図ではベクトルADは上向きをしていますが,それに負の係数がつくと当然逆向きになります。
(→OE)=(→OB)+p(→AD)と(→OE)=(→OC)+q(→AD)より,
EとFはそれぞれB,Cから下向きの位置にあるということが分かります。
B,Cの位置に関しては,実はそもそも上の図のように平面Lを境にして点Dと同じ側にある可能性のほかに
下の右図のように点Dと反対側にある場合があります。
また,BとCのうち片方だけが点Dと同じ側にある,みたいな場合も考えられるし
片方がはじめから平面L上にある,みたいな場合も考えられます。
どれが正しいのか,ということを把握するのは時には重要で,それを誤ることによって大きな落とし穴にはまることもあるし,劇的に簡単に問題が解けてしまう事もあります。
今回の問題ではp<0,q<0なのでB,Cは共に点Dと同じ側にあるみたいですねonegai03t.gif


e18.jpg



huririhi.gif平面Lの方程式を利用する その4

前回,点と平面の距離の公式を紹介しましたが,それを使ってHの座標を求めてみます。
線分NHの長さは,点Nと平面Lとの距離として計算できます。その距離をsとすると,
点HはNからベクトルDA方向にsだけ進んだ点として特徴づけ出来ます~
(→DA)/DAはベクトルDA方向の単位ベクトル(長さ1のベクトル)ですのでそれをs倍したものを(→ON)に加えれば(→OH)が求められるというわけですnurse01.gif


e19_20120816161408.jpg



huririhi.gifAH⊥ADの関係を利用する

最後に平面Lの方程式を使わずに解く考え方をしてみます~04(1).gif
要は平面Lの方程式を求める部分の過程を最後に持ってくることで,Lの方程式自体は導かない格好になっています。

H(X,Y,Z)とおいてX,Y,Zを求めます。
NH//ADの関係からY,ZをXの式で表せるようになるので,最後にAH⊥ADの関係からXを求めてます。

e14.jpg

e15.jpg



どの解法も大きな手間の量の違いは無いですねzou.gif
次回は(2)をやっていきます~neko(1).gif
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