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2013年日本数学オリンピック予選 第7問

2013.01.26 00:00|数学
どもども。

今日は今年の日本数学オリンピック予選の第7問をやります~

間違ってるところがあったら是非教えてね~

問題はこちらから~算数mini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html



25個の未知数を持った方程式の非負整数解の個数を求める問題ですよ~
25個というのはなかなか多いですね~
でも,ある程度パターンが決まってきそうなので
10個でも25個でも50個でも100個でも大きな違いはあまり無さそうです。


とりあえずそのままの形だと考察が難しそうなので式変形します。
問題の方程式を見て何かがピンときたりしませんかー?

と,いいますのは

x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx

という不等式に似てますよね~udon(2).gif
これは両辺を2倍して右辺を左辺に移項すると

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≧0

と変形できることから導かれる結果でしたねnasu.gif
似たような変形が今回もできます。

x_1^2+(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+……+(x_24-x_25)^2+x_25^2=4

こうすると,左辺は非負整数の平方の和の形になっているので

 x_1^2,(x_1-x_2)^2,(x_2-x_3)^2,……,(x_24-x_25)^2,x_25^2のうち
  どれか4つが1で残りが全て0

 x_1^2,(x_1-x_2)^2,(x_2-x_3)^2,……,(x_24-x_25)^2,x_25^2のうち
  どれか1つが4で残りが全て0


のどちらかの状態になれば良いことが分かりますね~

o1_20130123012704.jpg

でも,実は後者のパターンを満たす解はありません~


o8_20130123021114.jpg


というわけで,x_1とx_25は0か1になります~
そこで,0になるか1になるかで4パターンに場合分けして考えてみます~

まずは x_1=x_25=1 の場合から見てみましょう~
(x_k-x_{k+1})^2=1 となるkが2個必要ですねー

そのことを踏まえると, x_1,x_2,…,x_25が

 1,1,1,…1,0,0,…,0,1,1,…,1
 1,1,1,…1,2,2,…,2,1,1,…,1


の形になる場合の2通りがあることが分かります。
数字が切り替わる場所を2つ選んでくる組み合わせを考えて総数を求めればいいですね~bye03.gif


o2_20130123012704.jpg


次は x_1=1,x_25=0 の場合を考えます。
やり方の要領はさっきの場合と同様です~
(x_k-x_{k+1})^2=1 となるkが今度は3個必要ですねー


o3_20130123012705.jpg
o4_20130123012705.jpg


x_1=0,x_25=1 の場合は,今やった x_1=1,x_25=0 の場合を逆転させたものなので総数は一緒です

o5_20130123012706.jpg


最後は x_1=x_25=0 の場合です~
(x_k-x_{k+1})^2=1 となるkが4個あればいいですねー15927440.gif


o6_20130123012707.jpg
o7_20130123012751.jpg





   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 日本数学オリンピック 予選 整数 2次形式 不定方程式

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