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2013年日本数学オリンピック予選 第8問

2013.01.27 00:00|数学
どもども。

さーて今回はこの間の今年の日本数学オリンピック予選の第8問ですよ~


間違ってるところがあったら教えてね~

問題はこちらから~箱ドットおにおんmini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html

3番5番に続いて図形の問題です~
3題とも円絡みでしたね~yotuba14.gif


今回のは4円に接する円が存在する条件に関する内容です~

n1_20130123012751.jpg

3円C_1,C_2,C_3に接する円を考えて,それに接するように円C_4を作るというのが
ベタな発想でしょうかね~

初等幾何的にあれこれするよりも,Xを原点とする座標平面を考えて
連立方程式を解く形に持っていくのが堅実かもしれないですonegai03t.gif


ちなみに一般に,与えられた3円に接する円を求める問題を
アポロニウスの問題というらしいです。
今の問題はまさにそれに関する出題ですね~

反転の概念を使うと鮮やかに解けるようなんですが,
自分はまだ反転の応用にあまり慣れてませんが,
とりあえずこんな感じでいいのかな?
ていう解答も後半に挙げてあります。


まずは堅実に,座標を設定する解法で解いてみましょう~


X(0,0),A(0,5),B(-6,0),C(0,-20),D(d,0)
とおきます~
3円C_1,C_2,C_3に接する円の中心を P(p,q),半径をRとおきます~

ちなみに,3円の位置関係にもよるんですが,
アポロニウスの問題の答えとなる,3円に接する円というのは一般に複数あります。
今の場合でも,上の図のようにC_1,C_2,C_3が全て内接しているタイプの円のほかに
円C_2の中にあってC_1,C_3とは外接しているタイプのものがあります。
円C_4にも接しているという追加条件があるため,
今回は上の図のようなタイプの大円を想定すれば良さそうですねー

「アポロニウスの問題」で検索すると様々な位置関係で詳しく説明しているページなんかも
見つかるので,興味があれば覗いてみてください~hana14.gif




さてさて,円C_1は大円に内接しているので
AP=R-5 になりますね~
これを用いて1本目の立式ができます~8269809.gif


n2_20130123012751.jpg

BP,CP,DPに関しても同様に式を立てることができますね
4本の式があれば連立方程式を解いてdを求めることができます~

n3_20130123012752.jpg
n4_20130123012752.jpg
n5_20130123012753.jpg
n6_20130123012825.jpg


問題自体はこれでおしまいですが,
今の問題で3円C_1,C_2,C_3の半径を一般設定でそれぞれa,b, c として
a,b, c ,d の関係を探ってみると,

(1/a)+(1/c)=(1/b)+(1/d)

という面白い関係式が出てきます~15927445.gif


n7_20130123012825.jpg


この式は一体何を意味しているんだろう……?15927446.gif


という問いに1つの答えを与えるのが,
冒頭に述べた反転を用いた解法にありました。


そもそも反転変換とはなんでしょうか。
それは大雑把に言うと次のようなものですusagi(2).gif


n8_20130123012825.jpg

半径rの円を使って1つの変換を定めるというわけなんですね~
反転変換が持っている性質というのは色々あります。
2回反転すると元に戻るとかですね。
今の問題を解く上で重要になってくるものだけ少し挙げると

 Oを通る直線の像は同じ直線
 Oを通らない直線の像はOを通る円(Oにおける接線は元の直線と平行)
 Oを通る円の像はOを通らない直線(Oにおける元の円の接線と平行)
 Oを通らない円の像はOを通らない円


ということです。
複素解析では反転変換はとても重要になってきます。
上の性質は円々対応の定理とかと関係するところです。


さて,この性質を使って今回の問題を解いてみますtentou03.gif

Xを中心とする半径rの円を反転円とした反転変換を考えます。
4円C_1,C_2,C_3,C_4は全てXを通り,また AC⊥BD であるので,
各円の像はそれぞれXを通らない直線 ℓ_k (1≦k≦4)で,4本の直線が囲む四角形は長方形です

この長方形が特に正方形になる時を考えましょう。
このとき,その正方形に内接する円をEとしますね~
円Eを反転変換したものはXを通らない円で,これを E’ とします。

例えば,Eとℓ_1の共有点は1点です。
これが意味するところは,反転後の図形E’とC_1もまた
共有点が1点であるということです。
これはすなわち2円E’とC_1は1点で接しているということになりますねーpig01.gif


同様にC_2,C_3,C_4とも接しています。
つまり円E’こそが4円C_1,C_2,C_3,C_4全てと接する円なんですよーjyugon.gif


そういうわけで,4本の直線 ℓ_k (1≦k≦4)が囲む長方形が
正方形になる条件からD(d,0)を求めればいいというわけです~


4点A,B,C,Dの反転による像をそれぞれA’,B’,C’,D’とします。

XA’+XC’=XB’+XD’

によって条件が立式されるのですが,これこそが中盤に出てきた

(1/a)+(1/c)=(1/b)+(1/d)

なんですね~kinkan.gif


n.jpg

n9_20130123012826.jpg



反転の概念を利用すると円絡みの多くの定理を証明できたりします。
うまく使いこなせるようになると,相当の威力を発揮するはずです~
自分もまだ不慣れですが,うまく使えるようになりたいなぁ~~hiyoko04.gif








     
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 日本数学オリンピック 予選 反転 アポロニウスの問題

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