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2013年日本数学オリンピック予選 第12問

2013.01.31 00:00|数学
どもども。

今回は今年の日本数学オリンピック予選の第12問をやります~

ようやく最後の1問ですね~

ミスとかあったら教えて下さいね~

問題はこちらから~箱ドットおにおん2mini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html

ある条件式を満たす数列{a_n}に関して,
任意のx,y(x<y)について
(a_xa_{x+1}+a_{x+1}a_{x+2}+…+a_{y-1}a_y)/(a_xa_y)≦c
を満たすcの上限を出す問題です~

任意のx,yについて成り立たなければならないというのが難しそうですね~hiyob_uru.gif



まずは青式の左辺を F(x,y) とおきましょう~
ついでに付加条件に出てくる定数を r とおきます~

s1.jpg
s2.jpg

a_1,a_2,a_3の取り方次第でrは0<r<2のどんな値も取れそうですね。
でも,a_1,a_2,a_3,… は相異なる値だという仮定が付いているため
実際は制約を受けます。
このことはあとでまた触れます~

とりあえず y=x+1,x+2,x+3 あたりにして
どういう感じになるのか様子を探ってみましょうか~kaeru_en1.gif



s3.jpg

F(x,x+1),F(x,x+2),F(x,x+3) は
いずれもxには依存しない定数になっていますね~

この調子でF(x,x+4),F(x,x+5),… もxによらない定数になるんでしょうか??
そうだとするとF(x,x+n)はrの(n-1)次多項式になるんじゃないかという
気配もなんとなくしますね~

ただ,出てくる定数の値見ても,それ以外の規則性みたいなものは
イマイチ見えてこないですねー。


数列{a_n}ってそもそもどんな数列なものだろうという点に少し着目してみましょう~m_0025.gif

a_{i+1}/a_i+a_{i+1}/a_{i+2}=r が成り立つ数列ってどんなんだろう~

この式って,見方を変えれば3項間の漸化式です。
両辺をa_{i+1}で割ってみましょう~

(1/a_i)+(1/a_{i+2})=r(1/a_{i+1})

……おやおや??m_0100.gif

ちょっと b_n=1/a_n とおいてみますよー。

b_{n+2}-rb_{n+1}+b_n=0

こ… これは… 
一番よく見慣れた形の3項間漸化式の形になってますね~m_0245.gif


この手の漸化式を解く問題は色々経験しているかと思います。
どんな感じの解が出てくるかもある程度見当がつきますよね。
b_nが分かればその逆数のa_nが分かります。
だから数列{a_n}の形ってのはある程度絞られてきちゃいますよねーm_0244.gif



実際にb_nを求めてみますね~。
2次方程式 x^2-rx+1=0 の2解を使って変形するのが常套手段でした~

ただ,判別式について r^2-4<0 となっているので
この2次方程式は実数解を持たず,2解ともに虚数になっています。
何だか面倒ですねぇ~~onigiri_1.gif

±{√(4-r^2)} i というのがちょっと分かりづらいですので
見通しが良くなってほしいという願いを込めて
r=2cosθ とおいてみます。

すると,2解は綺麗な形に落ち着きますよ~patikapa.gif


s4.jpg
s5.jpg

では,ちょっとガリガリと計算してb_nを出してみます~zashiki.gif


s6.jpg
s7.jpg

オイラーの等式を使わずにやってる場合は
ド・モアブルの定理とか使って計算すれば同じものに到達しますよー。

さて,だいぶ分かりやすい形にはなったんですが,
もっと分かりやすい形に直してしまいましょう~kaeru0-01.gif


s8.jpg

三角関数の合成によってかなりシンプルな形にまとめ上がりました~

問題文にa_1,a_2,a_3,… は相異なる実数の列だと書いてあります。
θが2πの有理数倍であったら上の式から,数列{a_n}は周期数列になってしまいます。
よってθは2πの無理数倍でなければなりません。
頭の片隅においておきましょう~


これをF(x,y)の式に代入してみますよーaicon338.gif


s9.jpg

定数Cが消えてしまいました~aicon430.gif


次は上の式の中の,和の部分に着目してみたいと思います。
cos(nθ+α) と cos((n+1)θ+α) の積を分母に持つ分数です。
部分分数分解ぽいことが出来たら嬉しいですねー

すなわち,

1/{cos(nθ+α)cos((n+1)θ+α)}=A_{n+1}-A_n

みたいな感じになるA_nが無いかな~ということです。

なんとなく試しに,分子にsinを乗せて sin(nθ+α)/cos(nθ+α)
について階差をとってみます8257377.gif


s10.jpg


あ,なんか上手くいっちゃいました~8190547.gif



これでF(x,y)はさらに簡潔な形に直してしまうことができますよ~15927445.gif


s11_20130125202543.jpg


随分と単純な形になっちゃいましたね~

ここで,クロネッカーの定理を紹介します。

αが無理数であれば αn の小数部分は区間[0,1]において稠密である。

稠密などという難しい言葉が入ってますが,すごく大雑把に言うと
αn の小数部分は,nを適当に取れば
[0,1]内の任意の値に,たとえ等しくはならなくとも
いくらでも近い値をとることができるということだと思って良いです。


さて,θは2πの無理数倍でした。
このとき,θ/(2π)は無理数で,クロネッカーの定理より
自然数nを適当に取れば
{θ/(2π)}n の小数部分はいくらでも1/4に近くすることが出来ます。
これはつまり,nθはいくらでも π/2+2πk (k:整数)の形の値に近い値を
取れるということで, n=y-x の時を考えると
sin(y-x)θ はいくらでも1に近い値を取れるということになります。
したがって,F(x,y)≦1/sinθ
になります。

F(x,y)≦c を満たす最小のcをc_0とすると
c_0=1/sinθ です~~15927440.gif



s12.jpg


というわけで無事に答えを求めることが出来ました~~dog_love.gif


ちなみに, F(x,y)=sin(y-x)θ/sinθ であることを踏まえると
F(x,x+1),F(x,x+2),F(x,x+3),… 
がxに依存しない定数になったことも頷けますねーrabi_shy.gif


s13.jpg



ちなみに, r=2cosθ を代入した後で t=cosθ とおいて
t の多項式を作ると,第2種のチェビシェフ多項式になっています。




          
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 日本数学オリンピック 予選 数列 3項間漸化式 加法定理

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