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2013年センター試験数学I・A 第1問

2013.02.05 02:46|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター試験の数学I・Aの第1問をやっていきますよ~

今年の数学の問題はI・Aの方が難化という事態になりましたsuika.gif

冊子をめくるとまず目に飛び込んでくるのが
有理化がめんどくさそうな無理数。
この瞬間で気持ちが萎えてしまいます~star05.gif

高校入試に向けた受験勉強で,動点問題に苦しめられた人も多いと思いますが
第2問の2次関数の問題ではその動点問題が登場。
与えられた2次関数について考察するのではなく,
考察すべき2次関数を自分で計算して導かなければなりません。

第2問までで既にうんざり。命からがら第3問に逃げてくると
今度は難問の図形問題が待っています。
序盤のODを求める所で手が止まってしまった人も多いようです
序盤でつまずくと,その先がほとんど全く解けないので焦ってしまいます。
勘で答えられそうな設問があるのは救いですね。

第4問の確率だけがオアシスです。
さっさと第4問に逃げてきて,確実に攻略するのが良い作戦だったようですね。


今回は第1問をやりますよー

問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
a17_20130204231752.jpg


a18_20130204231617.jpg

  a19_20130204231617.jpg



最初は式の計算の問題ですね~
いきなり凄い厄介そうな2数が目に飛び込んできます。
AとBが与えられていて, A+B を計算しようという,
実はシンプルな内容です。
普通はAとBの分母を有理化して足してしまうんですが,
この2数はどうも有理化が面倒くさそうな感じです。
そこで,ちょっと工夫をして計算してみようという話なんですね~akaname_20120809135852.gif


1/A+1/B=(A+B)/(AB) であることを利用して
事前に,ABと1/A+1/Bの値を計算しておいて
A+B=AB(1/A+1/B) を計算して
A+Bの値を求めようということをやります。

これはA+Bを求める際に,最初に分母を有理化せずに
通分して計算するやり方と大体同じです。


ではまずは,ABの値を求めてしまいましょう~
分母は有理化せずにそのままにしておきますbuta.gif


a1_20130204234926.jpg

1/A+1/B の方は簡単に求められますね~

a2_20130204231618.jpg

あとは AB と 1/A+1/B の値を掛け算です~

a3_20130204231619.jpg
a4_20130204231619.jpg



というわけで,落ち着いてやれば
決して怖い相手ではありませんでした。

途中の誘導に従っていけば問題はないのですが
一応,最初に分母を有理化してしまって A+B を計算したら
どうなるかも検証しておきますね

a5_20130204231717.jpg
a6_20130204231718.jpg

やはり少々面倒ですね~




続いて後半は毎年恒例の必要条件・十分条件絡みの問題です~
図形絡みの命題について考察しなければなりませんbody_run.gif
色々図を描いて,ああでもないこうでもないと思考を巡らせなければならず
苦労した受験生も多かったのではないでしょうか。

ド・モルガンの法則を使った論理計算も必要です。
集合の計算で出てきたド・モルガンの法則は論理計算にも適用することができますよ~
機械的に計算できるところが素晴らしいですが
それを使わないで地道に考えると混乱して時間を食うかもしれません。
ド・モルガンを使わないのは恐らく論理計算に不慣れな人が多いでしょうから。


最初の設問は 「r⇒(pまたはq)」 の対偶は何かという問題です。
これはp,q,rの具体的な内容を考慮することなく
機械的な論理計算で処理出来ます。
命題Pの否定を (‐P) と書くことにします。
一般に命題 「P⇒Q」 の対偶は 「(‐Q)⇒(‐P)」 です。

いまは P=r,Q=(pまたはq) の場合ですね~
(‐P) はそのまんまで (‐r) ですが,
(‐Q) はちょっと面倒そうですね。

ここでド・モルガンの法則を持ち出してきますよー

a8_20130204231719.jpg

これに従うと,

a7_20130204231718.jpg

となります。
要は「pかq」の否定は「pでもqでもない」 ですよー

1 「pは正しい qも正しい」
2 「pは正しい qは正しくない」
3 「pは正しくない qは正しい」
4 「pは正しくない qも正しくない」


の4つの可能性があり,「pまたはq」というのは
「pは正しい または qは正しい」という意味なので
上の1,2,3を合体させたものです。
その否定は,1,2,3のいずれでもないもの,すなわち4ですeto_ushi.gif




次の設問は, 「(pまたはq)⇒r」 の反例を2つ挙げる問題です。
(pまたはq)は正しいのに,rは正しくないもの を探します~eto_uma.gif


 pは正しい  rは正しくない
 qは正しい  rは正しくない


少なくともどちらか一方が成り立っている状況を見つけ出します。

ちなみに,pの「3つの内角がすべて異なる」というのは
「二等辺三角形ではない」ことと同値です。
(‐P)が「3つの内角の中に等しいものがある」すなわち「二等辺三角形である」
ということを指すからです。なお,正三角形は二等辺三角形の特別版です。


それでは選択肢を上から順に見ていきましょう~~eto_saru.gif


まずは0番の直角二等辺三角形です。
45°の角が2個あります。よってpは正しくないです。
直角三角形なのでqも正しくないです。
どちらも成り立たないので,この選択肢は却下です。
このように,(pまたはq)が正しくない,というパターンは反例とはまた別なので注意です。


次は1番の内角が30°,45°,105°の三角形です。
全ての内角が異なるのでpは正しいです。
90°の角が無いので直角三角形ではありません。qも正しいです。
45°の内角があるのでrは正しくないです。
どちらも正しいのでこれは反例です


次は2番の正三角形です。
全ての内角が60°なのでpは正しくないです。
直角三角形ではないのでqは正しいです。
45°の内角はないのでrは正しいです。
どちらも成り立たないので,この選択肢は却下ですhamster_2.gif
なお,p,qの検証はしなくても,rが正しいという時点で却下することができます。


次は3番の3辺が3,4,5の三角形です。
この3辺の長さはよく出てくるのですぐにピンとくる人もいるでしょう。
3^2+4^2=5^2 より,これは直角三角形です。qは正しくないですね。
二等辺三角形ではないのでpは正しいです。
もし,この直角三角形が45°の内角を持っていたら
それは直角二等辺三角形になってしまいます。
そうすると3辺の比が1:1:√2になるので,
3,4,5という辺の長さにはなりません。よって45°の内角はありません
rは正しいです。
どちらも成り立たないので,この選択肢は却下です。
なお,p,qの検証はしなくても,rが正しいという時点で却下することができます。


最後は4番の頂角が45°の二等辺三角形です。
二等辺三角形なので底角は等しいのでpは正しくないです。
その底角は67.5°なので,直角三角形ではないです。qは正しいです。
45°の内角があるのでrは正しいです。
が正しいので反例ですhiyos.gif



a9_20130204231719.jpg
a10_20130205010913.jpg



最後はrは(pまたはq)であるための何条件かという設問です。
このタイプの問題は混乱しやすいので苦手な人が多いでしょうね。
落ち着いて r⇒(pまたはq) と (pまたはq)⇒r の真偽を吟味しましょう~hunayurei.gif


上の問題で見たように,(pまたはq)⇒rには反例があります。
問題文で反例があるよって教えてくれているのだから親切ですね。
すなわち(pまたはq)⇒r は偽です。
これはrは(pまたはq)であるための必要条件ではないことを意味しますipon.gif
もしもrが必要条件だったとすれば,
(pまたはq)が正しいならば必ずrが正しくなければいけません。
(pまたはq)が正しいならば必ず  である,
といえるものが必要条件です。 

一方で,r⇒(pまたはq)は正しいことは証明出来ます。
(1)でこの命題の対偶を求めていました。対偶と元の命題は真偽が一致します。
元の命題より対偶を考えたほうが考察が簡単になるということがしばしば
あります。今なんかもそのパターンで,
(1)は対偶で考えさせるための誘導と思うこともできます


まずは対偶ではなく元の命題を使って考えてみましょうか。
「r⇒(pまたはq)」 は正しい というのは

・ rが正しい ⇒ pも正しい
・ rが正しい ⇒ qも正しい

の少なくともどちらか一方が成り立つ
ということです。これは,

 rが正しい ⇒ pも正しい
 rが正しい ⇒ pは正しくない かつ qは正しい

のどちらか一方が成り立つ
と言い換えても構いません。 
(pまたはq) というのが
(pまたは{(‐p)かつq}) と等しいからですinsect_kuwa_m.gif


a14 1
a14 2


今から「rが正しい かつ pは正しくない ⇒ qは正しい」ことを確かめます
もし,これが正しいことが確かめられたとしましょう。
rが正しくてpも正しい時はが成り立ちます。
rが正しくてpが正しくない時はが成り立ちます。
したがって,のどちらかが成り立つので
「r⇒(pまたはq)」 は正しいことになります。
何だかややこしいですねぇ~~

もう少しシンプルに言うと,
『rが正しい時,pが正しい時も正しくない時も両方起こり得ます。
もしpが正しくなかったときはqが正しくなってるので,
rが正しければpまたはqの少なくともどちらか一方は正しいです』

ということです


a11_20130204231618.jpg

a12_20130204231750.jpg


論理の扱いに不慣れだと,多分今の説明もだいぶ難しいかと思います。
対偶を使って考えるとだいぶスッキリしますkaeru_en1.gif


というのは,対偶は「直角二等辺三角形⇒45°の内角がある」
に言い換えることができるからです。


a15_20130204231751.jpg

a16_20130204231752.jpg


(pまたはq)は「直角二等辺三角形ではない」と実は同値であることがわかると思います。
対偶でなく元の命題で考えるときには
「45°の内角がない⇒直角二等辺三角形ではない」に帰着させてもいいんですねm_0025.gif


さてさて,「r⇒(pまたはq)」 は正しいということは
rは(pまたはq)であるための十分条件であることを意味します。
ならば必ず(pまたはq)が成り立つ
というのが十分条件でしたね。


a13_20130204231751.jpg



次回は第2問をやっていきます~


  
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:2013 センター試験 無理数 有理化 論理 ド・モルガンの法則 必要条件 十分条件

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