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2013年センター試験数学I・A 第2問

2013.02.09 06:22|大学入試問題
どもども。

今回はこの間のセンター試験の数学I・A第2問をやります~

問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
 b22_20130209033856.jpg

b23_20130209033857.jpg


2次関数の問題ですよー

大体の場合,問題文中で何か2次関数が与えられて,
その関数について最大値とか最小値とかを場合分けしながら考察する,
という流れの問題になるんですが,今回はちょっと違うようですね。

考察すべき対象の2次関数は自分で計算して求めなければいけません。
ここで間違うとその先全てアウトという恐怖がありますdokuro.gif

そして,そもそもの難点は,この第2問が
多くの受験生が苦手意識を持っている動点問題であるということですdog_smile.gif
速度の異なる2点P,Qの運動というシチューションです。
大学入試ではなく高校入試のときに,関数の応用問題の定番でした。
問題文を読んだ時点で「ゲゲッ」と心の声を漏らした人も多かったかもしれません。

ただ幸いなことに,今回は時間経過につれてP,Qの動き方に変化は起きないんです。
Pが,AからOまでまっすぐ向かっていって到達するまでの状況しか考えません。
しかも,面積の和Sさえ求めてしまえば,あとは動点とかどうでもよくなって
機械的にいつもの2次関数の問題に落ち着いてしまいます。

臆することなく挑めば道は開けると思います。
それではやってみましょう~dolphin.gif



b1_20130209032412.jpg

動点PはA(-8,8)からスタートして直線 y=-x 上を原点側に向かって
移動してきます。1秒あたりにx座標が2増えるだけの速さだそうです。

図のように P’ を取ると,この P’ も動点になっています。
A’(-8,0)を出発して,1秒あたりにx座標が2増えるだけの速さで
原点に向かってきます。
Pが原点に到達するのとP’が原点に到達するのは同時ですね。

最初の設問は,Pが原点に到達する時刻を求めるものです。
P’が原点に到達するのが何秒後か計算すればOKです~eto_i.gif

出発から t 秒後のP’の座標を求めて解く方法でも良いですし,
もっと単純に,OA’=8,秒速2だから 8÷2=4 でもOKです~

b2_20130209032412.jpg


一方,動点Qは,Pが動き出すのと同時に原点を出発し,
直線 y=10x 上を x>0 の方向へ動いていくそうです。
1秒あたりにx座標が1増えるだけの速さだそうですよ~
出発から t 秒後のQの座標はPより分かりやすくて Q(t,10t) ですね。

図のようにQ’を取って,2つの三角形OPP’とOQQ’の面積の和を
Sとおきます~。
Sを求めるのが次の設問ですね~。
ここは絶対間違えないように慎重にやってくださいね~hamster_2.gif


どちらも直角三角形なので,
素直に底辺×高さ÷2の公式に当てはめて計算するのが良さそうです~

P,P’は第2象限の点なのでx座標が負です。
P’(-8+2t,0)より OP’=(-8+2t)=8-2t です。
うっかり OP’=-8+2t としてしまわないように注意してください。

b3_20130209032412.jpg


Sを求めてしまったら,あとは動点のことは忘れてしまっても構いません。
0<t<4 の範囲で2次関数S(t)を考えるという状況に帰着されました

次の設問はS(t)の最小値を出せというものです~
平方完成してグラフの概形を考え,
0<t<4 の範囲でS(t)の最小値を求めます。 
軸の方程式が t=8/7 になりますが
これは0<t<4 の範囲に入っているので,
ちょうど放物線の頂点のところが最小値を与えていますgp11.gif


b4_20130209032413.jpg

微分して解いても構いません~

b5_20130209032413.jpg



次は,何やら 0<a<3 を満たす定数 a をテキトーに取ってくるらしいです。
そして, a≦t≦a+1 の範囲におけるS(t)の最小値と最大値を考えるという状況だそうです~

この範囲において,さっきと同じように t=8/7 で最小値をとるのはどんな時でしょうか。
グラフを描いてみると分かりやすいと思います~

軸がちょうど a≦t≦a+1 の範囲に入っていればいいですよね
すなわち a≦8/7≦a+1 となっていればいいです
これを変形して ≦a≦ の形にしてみてください~

b6_20130209032413.jpg

a≦8/7 と 8/7≦a+1 に分けて考えて,最後に合併してもOKです~kaeru_en2.gif


b7_20130209032449.jpg


お次は t=a で最大値をとるためのaの条件を求めます~


 グラフの概形で場合分けして考える

やはりグラフを描いて考えるのが基本でしょうか~
条件を満たすのは,グラフの形が以下の2パターンのうちの
どちらかになっているときです。

b8_20130209032449.jpg


左側は a≦t≦a+1 の範囲で常にS(t)が減少している場合です。
右側は a≦t≦a+1 の範囲に軸が含まれていて,なおかつ S(a)≧S(a+1) となっている場合です。

今はセンター試験だからよいのですが,
記述式の試験の場合,特に模試なんかでは,グラフだけ描いて
「グラフが次のいずれかのようになればいい」と書いて終わっている段階では
場合分け出来ているとみなされずに部分点がもらえないことがあります。
つまり上の画像のような例ですね。
「図のように」という表現では,曖昧で困っちゃうってわけですね。
仮に最後まで解けなくても,どうせ場合分けまでしたなら,
ちゃんとその場合分けを説明する数式などを添えておくと部分点が少し増えたりするかもしれませんよ~

左側の場合は,0<a<3 かつ a+1≦8/7
右側の場合は,0<a<3 かつ a≦8/7<a+1 かつ S(a)≧S(a+1)

例えばこのように場合分けを説明出来ます。
S(a)≧S(a+1) の「≧」には注意しましょう。「>」ではありませんkawauso.gif
最大値をとるtは t=a だけでないとダメ,という条件はないからです。
S(a)=S(a+1) のときは最大値をとる t が, t=a,a+1 の2つあります。


b9_20130209032449.jpg
b10_20130209032449.jpg
b11_20130209032450.jpg


 の場合分けの説明については,S(a)≧S(a+1) の代わりに
(8/7-a)≧{(a+1)-8/7} を持ってきても良いです。
これが何を意味してるのか説明します。
グラフが軸 t=8/7 を境として左右対称になっています。
t≦8/7 ではS(t)は単調減少,t≧8/7 ではS(t)は単調増加です。
下の図を見ると分かりやすいかと思いますが
t=8/7 から離れれば離れるほどS(t)の値は大きくなります。
t=a と t=a+1 を比べたとき,t=aの方がより t=8/7 から
離れていることが S(a)≧S(a+1) と同等になるのですkasabake.gif


b12_20130209032450.jpg

上でヘビさんが言っているように,
t=a と t=a+1 の中間点である t={a+(a+1)}/2 が
t=8/7 より左側にあれば良いという観点に着目してもいいですよ~
問題集などの解答ページではこちらの形で場合分けを記述してあることが多いですkitune.gif




 S(a)とS(a+1)の大小に着目する

上の解法ではグラフを2パターンに分けて考えていました。
ところで a≦t≦a+1 の範囲では,グラフがどのような形になっていようとも
S(t)の最大値はS(a)かS(a+1)かのどちらかになっています。
したがって,グラフの形で分類することなく
0<a<3 かつ S(a)≧S(a+1) を満たすaの範囲を求めれば実は良かったんですkuma_fly.gif


b13_20130209032517.jpg



 t=a,a+1とt=8/7の距離に着目する

t=a と t=a+1 を比べたとき,t=aの方がより t=8/7 から
離れていることが S(a)≧S(a+1) と同等になる,ということもまた
グラフの概形によらずに言えることです。

したがって,0<a<3 かつ |a-8/7|≧|(a+1)-8/7|
を満たすaの範囲を求めれば答えが得られます

|a-8/7|≧|(a+1)-8/7| のベタな解き方は幾つかあります。

まずは,絶対値記号の外れ方に応じてパターン分けするやり方です~

b14_20130209032517.jpg


次は,不等式の両辺が非負なので2乗して比べるやり方です~ladybug.gif


b15_20130209032517.jpg


最後は,|A-B|が数直線上で2点x=Aとx=Bの間の距離を表していることに着目したやり方です~m_0027.gif


b16_20130209032517.jpg




いよいよ最後の設問です。
今度は3点O,P,Qを通る2次関数を考えます~
これが y=2x^2 を平行移動した関数になっているための条件を求める問題です。

3点O,P,Qを通る2次関数y=f(x)の表し方というものがいくつか考えられますm_0032.gif


 f(x)=2x^2+Ax+Bとおく

まずはシンプルに f(x)=Ax^2+Bx+C とおいて,A,B,Cを求めるというもの。
ただし,これが y=2x^2 を平行移動した関数になっているというので,
A=2 であることが始めから分かります。
よって, f(x)=2x^2+Ax+B とおいていいんです。
あとはO,P,Qの座標を代入して t,A,B を求めます。
この際,余計な因数は割りながらやると効率がいいです~

b17_20130209032518.jpg
 b18_20130209032518.jpg




 f(x)=2x(x-p) とおく

y=f(x)は原点を通るので,f(x)=0の解の1つはx=0になります。
もう1つの解をx=pとおくと,f(x)=2x(x-p)と書くことができますねm_0100.gif
あとはP,Qの座標を代入してtとpの値を求めればいいです~

b19_20130209032750.jpg

これで f(x)=2x(x+5/2) であることが分かりました。
あとは最初の解法と同様に平方完成してもいいですし,
以下のように,頂点の座標を求めてそれが(0,0)からどれだけ移動したか考察する
やり方なんかもできます~m_0140.gif


b20_20130209032750.jpg


 f(x)=2(x-α)^2+β とおく

y=f(x) は y=2x^2 を平行移動したものなので,
x軸方向にα,y軸方向にβだけ平行移動したものだとすると
f(x)=2(x-α)^2+β と表すことができるわけですm_0137.gif
あとは上の解法たちと同様に座標を代入してt,α,βを求めればOKです~

b21_20130209032750.jpg

2次方程式とか出てきてちょっと他のやり方より面倒になってましたね。
f(x)=2(x-α)^2+β というおき方のほうが有利になることも結構多いんですが
今回に関してはシンプルなおき方のほうが楽だったのかもしれません。




これで第2問はおしまいです~
次回は波乱の第3問ですよ~m_0216.gif







   
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タグ:2013 センター試験 動点問題 2次関数 放物線 最大値 最小値

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