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2013年センター試験数学I・A 第3問 その1

2013.02.15 23:05|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター試験数学I・Aの第3問をやっていきますよー

問題はこちら~算数mini
c33.jpg

c34.jpg


平面図形の問題です~
今年のセンター数学I・Aを難化させた最大の要因がこの大問3です

1つの円とか1つの三角形とかに着目するのではなく
複数の図形たちの関係を総合的に捉えることが出来ないと解き進めていくことが出来ないので
幾何が苦手な人にはとてもしんどい問題になっています。

最初のAPしか解けずに終わってしまった人がたくさんいるようです
2つ目の空欄のODを求めるのが早くも厄介です。
よくよく考えると色々な解き方があるんですが,
まだ2つ目の空欄なんだから簡単に答えが出せるだろう,と無意識に油断していると
思わぬピンチに遭遇する羽目になりかねない恐ろしさがあります。
ODの長さは2つ目の空欄に持ってくるには少々意地悪な感じがしますねー


では具体的にやっていきましょう~buta.gif
まずはAPの長さを求めてね~という設問です。

ABは円Oの直径で,かつ円Pの接線であるということから
△OAPは直角三角形, OA=3, OP=1 です。
というわけで△OAPに三平方の定理を使えば簡単にAPが求められます。

c2_20130215133128.jpg

さて,次はつまずいてしまった人の多いODを求める部分です。
いくつかの解法をご紹介します~

恐らくは解けた人の多くは,面積を使う相似を使うトレミーの定理を使う
の3パターンのいずれかだったのではないでしょうかdog_happy.gif



 面積の関係式を使う

AOとADはどちらも円Pの接線です。
このときちょうど△OAPと△DAPはAPを対称軸として
線対称になっています。
このような些細な図形の基本性質などを見落とすことなく拾っていけるかどうかが
図形問題を解く上で勝敗を大きく左右します

△OAPと△DAPは合同ですので面積も等しいです。
どちらも直角三角形ですし面積を求めるのは簡単です。
2つの面積の和が四角形AOPDの面積になりますが.
対角線APとODは直交するので,この四角形の面積は
(1/2)×AP×OD と表すこともできます。
(下図において△OAPと△DAPを,APを底辺,OMとDMを高さとみるという考え方でもOK)
この点に着目してODを求める式を立てることができますよ~

c3_20130215133128.jpg

 三角形の相似関係を使う

ODとAPの交点をMとします。
対称性より OM=DM なので,OMの長さを求めることが出来れば
それを2倍すればODの長さになります~eto_hitsuji.gif


そこで, △OAP∽△MOP に着目します。
AO:AP=OM:OP からOMの長さが出てきます~

c4_20130215133128.jpg
c5_20130215133129.jpg


 トレミーの定理を使う

トレミーの定理という便利なものがあります~
教科書や問題集なんかにも,載ってはいるのですが
オマケ扱いみたいな感じになってるので
正弦定理や余弦定理のような,誰もが使い慣れている道具ではなく
存在を知らない受験生も多いかもしれません。
でも便利なんですよねー。センター試験でも使える場面がよくあります。
現に,今もこの定理を使ってODを求めることができます~

内容は円に内接する四角形に関するものです~kaeru_en2.gif


c6_20130215133129.jpg

向かい合う辺同士の長さの積を足し合わせると
対角線の積になるという,決して複雑なものではないかと思います。
ただ,あくまで円に内接する四角形というのが条件で,
定理を知って間もない頃は,うっかり円に内接するわけでもない四角形に
定理を使ってしまって答えを誤るなんてこともあり得るので注意ですよ~kudan.gif


円に内接する四角形の特徴としては,
例えば対角の和が180°なんてのがあります~

さて,今の問題ではどのように定理を使えばいいのか考えてみますね~
着目すべきは四角形AOPDです。
∠AOP=∠ADP=90° より対角の和が180°なので
この四角形は円に内接します。
ちなみに,その円はAPを直径とする円です。
∠AOP=∠ADP=90°というのは半円に対する円周角ですから~korobo.gif


対称性より OA=AD=3, OP=PD=1 で,また AP=√10
なので、トレミーを使えばODが求められますね~

c7_20130215133158.jpg
c8_20130215133158.jpg



 余弦定理を使う

∠OAD=θ とおきます。
cosθ を求める設問が3つ目の空欄にあります。
通常の流れとしてはODを求めた後に,それを利用して cosθ を求めるんですが
逆に考えて先に cosθ を求めて,それを使ってODを求めてみましょう~kojika.gif


対称性より ∠OAP=∠DAP=θ/2 なので
直角三角形OAPに着目すると,簡単に cos(θ/2) を求めることができます。
2倍角の公式を使えば cosθ が出てきますね~

あとは△OADで余弦定理を使ってODを出します~~

c9_20130215133158.jpg


 正弦定理を使う

余弦定理がアリなら正弦定理だってアリでしょう~~lunch.gif
sinθ を求めて△OADに正弦定理を適用します。
OD/sinθ=2R (Rは△OADの外接円の半径)
が成り立ちますが,四角形QOPDは円に内接する四角形だったので
その円が△OADの外接円になっています。
APが直径なので 2R=AP です~

c10_20130215133159.jpg
c11_20130215133159.jpg






それではそろそろ次の設問に行ってみましょう~~
今度は cosθ を求めよという問題です~~ladybug.gif


2つ上の解法で既に求め方の1つは挙げられていますね~

問題の流れに沿うとODを求めてから余弦定理を使って 
cosθ を出すというのがおそらく一番標準的な解法でしょうね~


 余弦定理を使う

c12_20130215133159.jpg


 sinθを使う

先に sinθ を求めていれば,三角比の相互関係から cosθ を出すことができますねm_0061.gif


c13_20130215133231.jpg


 1つの内角がθの直角三角形を作る

DからAOに垂線DHを下してみます。
このとき△DAHは直角三角形なので,
cosθ=AH/AD や sinθ=DH/AD なんかが成り立ちます。
これらを使って求めてみてもいいでしょう~m_0062.gif


ただし,AD=3 は分かっていますが,AHかDHかの長さは
先に計算しなきゃいけませんね。
下の解答例では,相似関係からAMを求めた後に
△OADの面積に関して2通りの表し方をしてDHを求めています。

c14_20130215133231.jpg

c15_20130215133231.jpg





次の設問はACの長さを求めるものです~~
シンプルに△ABCに着目することが出来れば瞬殺できますm_0172.gif
でもまぁ,その気になれば色々な求め方もできるので
参考までにいくつか挙げておきますよ~


 直角三角形ABCとcosθを使う

ABは円Oの直径なので,△ABCは∠C=90°の直角三角形です。
∠A=θなので,さっき求めた cosθ の値を使えば
ACの長さはすぐに求まりますね~

c16_20130215133232.jpg

センター試験は穴埋め形式なので,空欄こそあるものの
問題を解いていくストーリーというかあらすじみたいなものが
問題文に書いてあるというありがたさがあります。
1つ前の設問が cosθ を出す問題だったので,
それを使えばACが簡単に求められるのかしら?という着眼点を持てると
方針を見失う危険性は軽減されるかと思います~
そのヒントがない状態だと,本来なら瞬殺できる問題なのに
意外とACを求めるのにも頭を悩ませてしまうかもしれませんね~m_0216.gif



 円Oの中心Oから弦ACに垂線を下してみる

OからACに垂線OH’を下してみましょう~
円の性質から △OAH’≡△OCH’ で,AH’=CH’=3cosθ
になっています。
これを使ってACを求めるというのも分かりやすい解法かな~と思います

c18_20130215133232.jpg



 円Oに関して方ベキの定理を使う

シンプルに解けるはずの問題ですが,
ここからは少し面倒なやり方をやってみましょう~
cosθ を使わないやり方を幾つか挙げます
まずは円Oにおいて方ベキの定理を使ってみるパターンです。

AD=3は分かっているので,DCの長ささえ分かれば
ACの長さが求められます。
方ベキの定理を使ってDCの長さを出してみみます。

ODを延長して円Oと交わる点を下図のようにX,Yとおいてみます。
このとき, AD・CD=XD・YD が成り立ちます~

c17_20130215133232.jpg


 △ABCと相似な三角形を作る

三角形の相似関係を使ってACを求めてみましょう~m_0234.gif
△ABCと相似な三角形は色々作ることができます。
例えば少し上の方で cosθ を出すために△ADHというものを考えた
解法がありました。この△ADHを使っても良いでしょう。
下の例では,△AOVというものを使っています。

AV,OVの長さを求めるために UV=x, DV=y とおいて
x,yを求めるために方ベキの定理や三平方の定理を使っています。
これらの長さが分かると△AOV∽△ACBの関係からACを求めることが出来ます。

c19_20130215133308.jpg

c20_20130215133308.jpg



 PからBCに垂線を下してみる

再びCDの長さを求めることを考えてみます。
PからBCに垂線PWを下してみますね。
ACは円Pの接線なので PD⊥AC なので
四角形CDPWは長方形になります。
よって CD=WP,DP=CW になります。
また,△AOP≡△BOP より PA=PB です。

これらの情報を総合してCDを求める方程式を立てます。
ここでは△ABCに三平方の定理を適用する形で立式しています。

c21.jpg




次の設問は△ABCの面積を出すものです。
直角三角形なのでシンプルに底辺×高さ÷2でもいいですし
sinθ を使った公式に当てはめても構いません。
他にもマニアックな出し方は色々ありますね。
とりあえずここでは分かりやすいのを2つ挙げておくくらいにしておきます。


sinθ を使うのがこれ~m_0233.gif
c23.jpg


底辺×高さ÷2がこれ~m_0232.gif
c24.jpg







少し長くなってきたので今回はここまでにしておきますね~
続きはまた次回やります~onigiri_1.gif









    
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タグ:2013 センター試験 平面図形 円の性質 三角比 相似 方ベキの定理 トレミーの定理 余弦定理

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