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2013年センター試験数学I・A 第3問 その2

2013.02.18 14:08|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きをやっていきますよ~~

問題はこちら~ぺんぎんmini
c33.jpg
c34.jpg

平面図形の問題でした~
前回は【タ】まで求めています。
今回は△ABCの内接円の半径を求めるところからやっていきますよーaobara.gif


内接円の中心Qは△ABCの内心です。
3つの内角の2等分線の交点になっていますよー

内接円の半径を求める常套手段というものがあります。
QからBC,CA,ABへそれぞれ垂線QH_1,QH_2,QH_3を下します。
このときAH_2,AH_3,BH_3,BH_1,CH_1,CH_2は全て円Qの接線になっています。
また,QH_1=QH_2=QH_3が成り立っていて,これが内接円の半径rと等しいです。

AH_2=AH_3=x,BH_3=BH_1=y,CH_1,CH_2=z とおいて
x,y,z,rの値は,

AB=x+y,BC=y+z,CA=z+x,
△ABC=△QAB+△QBC+△QCA 


の関係を使って求めることができますbouquet.gif


d1_20130218045753.jpg
d2_20130218045754.jpg



ただ,いまは△ABCが直角三角形であるという特別な状況です。
四角形QH_1CH_2に着目してみると,これは全ての内角が90°ですね~
しかも QH_1=QH_2=r なので,実は正方形です

そのことから, z=r になっていることが分かるので,
zを求めてみるという解法も考えられます

d3_20130218045754.jpg




次は△CEAとその内接円というよく分かんないものが出てきます。
ここから図形どうしの関係が非常に複雑になってきますよー
三角形やら円やら,登場人物が多すぎてどれとどれがどんな風に重なってるかとか
どれとどれが相似かとかそういうのが分かりにくくて混乱してきます。

問題文見れば分かりますが,円どうしの重なり方を考察するのがテーマです。
図がゴチャゴチャしすぎて全ての登場人物を小さい図の中に描き込もうとすると
恐らく多くの人がわけわからん状態になってしまうと思います~~
設問ごとに必要な登場人物だけを抜粋した図を描いて考えるのがベターですbuta.gif



まずはいきなり出てきた△CEAですが,
CEは円Oの直径なので,∠EAC=90°ですね。
四角形ACBEに注目してみましょう。
全ての内角が半円の円周角になっているので,
この四角形は長方形です。

このことから△ABC≡△CEAであることが分かります~cat_4.gif
これに気付けるかどうかが勝敗を分ける1つのポイントですね。
△CEAの正体が掴めないと余計に頭の中が混乱することになるでしょう。


d8_20130218045828.jpg


合同であるということは内接円どうしも当然ながら合同です。
したがって半径はどちらの内接円も6/5になっています。
また,△ABCと△CEAはACを共有しています。
Oを通りBCと平行な直線ℓを軸として線対称になっているのが分かるでしょうか

d15_20130218045856.jpg


QRの長さを求めるのが次の設問ですが,ここでもやはり
下の図のように必要なところだけ切り抜いてきた図を描くのがオススメです

d9_20130218045828.jpg

QRの長さはH_2H_4の長さと等しくて,
それはACから円の半径2つ分すなわち2rを取り除いたものになっていますdog_happy.gif


d10_20130218045828.jpg


そして円Qと円Rが交点を持つかどうかを考察しなければいけません。
一般に半径rの円Oと半径Rの円O’が与えられたとき,その位置関係は
中心間の距離dの長さを調べることで考察ができます~drink_juice.gif


d12_20130218045829.jpg


今の場合はどうでしょうか。
円Qと円Rについて,中心間の距離は12/5で,
これはちょうど2円の半径の和になっています。
実はこの2円は外接していたんですね~

d11_20130218045828.jpg


ここで,QRの別の求め方も少しながら挙げておきますね~dolphin.gif
先程も言ったように△ABCと△CEAは,
Oを通りBCと平行な直線ℓを軸として線対称になっています。
ℓとQRの交点をGとおくと, QR⊥ℓ かつ GQ=GR になっています。

 GQの2倍を求める その1

d16_20130218045856.jpg

QRはGQの2倍なので,実質的にGQの長さを求める問題と思っても良いでしょう。
GQ⊥ℓ, GH_1⊥BC, ℓ // BC より,3点G,Q,H_1は一直線上にあります。
そして四角形GH_1CNは長方形なので GH_1=NC=(1/2)AC です。
また, QH_1=r であるので,これでGQの長さが求められますねeto_uma.gif


d17_20130218061643.jpg

d18_20130218045856.jpg

d19_20130218045941.jpg


 GQの2倍を求める その2

四角形GH_1CNが長方形であることに気付かなくて,
円Oの中心Oの周りの状況に気を取られていたとしたらどういう解法になるか考えてみます。
△OQGに着目してみましょう。
OG,OQの長さが分かれば三平方の定理を使ってGQの長さを出せますねhamster_2.gif


△OQH_3に関する考察からOQの長さが出せます。
あるいはOQは△ABCの外心Oと内心Qの距離なので,
オイラーの定理を使って求めることも可能です。

また,四角形GQH_2Nが長方形なのでGN=rです。
ONから r を取り除いたものがOGです。
ONは△OANに着目したり,△ABCで中点連結定理などを使って出すと良いでしょう~
下の解答の中に出てくるθは前回同様で∠BACです。

d20_20130218045941.jpg
d21.jpg






次はAQの長さを出す問題です~
これも求め方は色々ありますね~

 △AQH_2に三平方の定理を使う

直角三角形AQH_2に着目すると,
AH_2はACからrを1個分引いたもので,QH_2はrに等しいので
三平方の定理を使えばすぐにAQの長さが出せますhunayurei.gif


d22.jpg



 角の2等分線の長さを求める

直線AQは∠Aの2等分線になっています。
直線AQとBCの交点をFとして,まずはAFを求めてみます。
三角形の内角の2等分線の長さの求め方は色々ありました。
以前に記事化もしてるので,良かったら参考にしてみてください~(リンクはここですよ~
今回はその記事で取り上げた2等分線の長さを求める公式を使っています。

AFを求めた後は△AFCに着目します。
QH_2 // FCより平行線と線分の比の関係を使ってAQの長さを出してますkaeru_ang2.gif


d23.jpg
d24.jpg



 △AOP∽△AH_2Q に着目する

△AH_2Qは1つの内角がθ/2であるような直角三角形です。
そのような三角形は既に,これまでの登場人物の中にもいました。
一番最初に着目した△AOPです。
あとは△ADOもですね。
もはや存在を忘れていたキャラクターかもしれませんねkaeru_alone.gif


△AOP∽△AH_2Q に着目すると,例えば線分比の関係を使えば

d25.jpg


あるいは sin(θ/2) を使って

d26.jpg


などのようにAQの長さを求めることができます。
上の図において気が付いておきたいことは
P,Qがどちらも∠Aの2等分線上にあるということです。
この事実を見落とすと次のPQを求める設問は苦労しそうですよー
というわけでPQを出してみましょーisona.gif





 AQからAPを引く

AQはついさっき求めました。
APは一番最初に求めています。
というわけでその差を求めればPQの長さになりますね

d27.jpg



 PD // QH_2に着目する

AQ-AP を計算するだけでいい問題なんですが,
登場人物が多すぎるせいで,大昔にAPの長さを出していたことを
忘れている可能性もありそうです。
Pから直線ACに下した垂線の足はDで,PDは円Pの半径になっていました。
PD // QH_2 より△AQH_2に着目して平行線と線分の比の関係を使ってPQを出してみますinsect_kuwa_m.gif


d28.jpg



 △OPQに余弦定理を適用する

A,P,Qが一直線上にあることに気付けなかったとしても
例えば△OPQに余弦定理を使うなどしてPQの長さを求めることができますよーnakioni.gif


d29.jpg
d30.jpg



最後は円P,円Qと点P,Qの位置関係を問う設問です。
円Pと点Q,円Qと点P,それぞれについて考察します。

まずは円Pと点Qについてです。
PQ間の距離をさっき求めました。
それが円Pの半径1より大きいか小さいか等しいか,
それを調べれば解決します~
円の内部にある点は中心Pとの距離が半径未満,
円の外部にある点は中心Pとの距離が半径より大きくなっていますmug.gif


円Qと点Pについても同様です~

d31.jpg


別の考え方としては例えば,PQを通る円Pの直径を考えて
円との交点のうちAから遠い方をIとしまして
P,Q,IからそれぞれAB上に垂線を下します。
この垂線の長さの大小関係から論じるなんてことができます

d32.jpg
d33.jpg

円Qと点Pについても同様です~

d34.jpg









これで大まかに全体をやり通したわけですが,
最後に座標を設定して解くやり方を通してやってみます~mush.gif


せっかく座標を設定するので,今は割とそれを活かしてやってみますが,
今まで挙げてきたような幾何的解法と組み合わせながら使うと良いと思います~
使える道具はガンガン使う,これに尽きます~

Oを原点,A(0,6),B(0,-3),P(1,0)と設定します。

APは2点の座標を使って距離計算,
ODも同様にやるか,あるいは原点と直線APとの距離の2倍,
ACは直線ACと円Oの交点の座標を求めて距離計算,
な感じで出せます~s2_sum_bbq.gif


c22.jpg


cosθはCあるいはDからABに垂線を下ろして直角三角形を作ると良いです~s2_sum_ball.gif
垂線の足の座標は計算せずに分かります。
垂線がx軸と平行だからですねー。

c25.jpg

△ABCの面積は普通に求めてもいいですが,
座標を活かすなら次の公式に当てはめるといいでしょう~zashiki.gif


d13_20130218045855.jpg

具体的には△ABCをy軸方向に+3平行移動してきます。
これでBが原点に移動して来ました~kaeru0-01.gif



d14_20130218045855.jpg


内接円の半径rを求めるには,まずは内心Qの座標を出します。
これは直線AP上のx座標がrの点で,かつ直線BCとの距離がrに等しくなるものを
見つければOKです~aomushi02.gif



d4_20130218045754.jpg

d5_20130218045754.jpg

d6_20130218045755.jpg

rの候補が2つ出て来ましたが,
一方は我々が求めたい内接円の半径になっていて
もう一方は△ABCの傍接円の半径になっています

d7_20130218045828.jpg


次はQRの長さですねー
ACの中点Nと原点を通る直線をℓとすると
Qのℓに関する対称点がRでしたよね
Rの座標を求めて,QとRの2点間の距離を出すという手もありますが,
QRとℓの交点をGとすると,QR=2GQなのでGQの長さを求めてもよいです。
これはQと直線ℓと距離として計算できます。


d35.jpg

d36.jpg


円Pと円Qが外接することは,まぁ既に挙げたやり方と同様でいいと思います。
A,P,Q,3点の座標は既に分かっているので
AQとPQの長さは,もはや何の幾何的考察をしなくても
ただの距離計算で済んでしまいますね~15927440.gif
もちろんPQは,AQとAPの差を求めたほうが早いわけですが~

d37.jpg

最後の設問はさっき挙げたやり方でいいと思います~
幾何的考察が難しそうな問題においては
座標を使ってゴリ押しするのも悪くない手です。
今回の問題は,時間のないセンター試験ですし,
わざわざ座標を設定してやるような問題でもないですが
ODの長さすら出せずに終わるくらいならゴリ押しで座標設定して
強引にODだけでも出して終わるのも,もしかしたらアリなのかもしれませんね15901723.gif





次回は第4問です~15927445.gif








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タグ:2013 センター試験 平面図形 円の性質 三角比 相似 内接円 余弦定理

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