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2012年東北大入試(後期)理系数学第3問その3

2012.08.18 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は前回の残りをやっつけてしまいますururu01.gif


問題はこちら箱ドットおにおんmini
m3

前々回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-6.html
前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-7.html

前回まで(1)についてやってきたので,今回は(2)です~body_stretch.gif
2PB^2+PC^2 の最小値を求めよ,という設問なわけですが,
果たして(1)の内容はヒントになっているのでしょうか。

実はヒントになっていて,2点B,Cから平面Lに下した垂線の足をそれぞれE,Fとおいたとき
2PB^2+PC^2 が最小になるときのPは線分EF上にあります。
従って,Pの座標を(1)で与えた答えの座標の値においておくことができます。

まずはそんな解法からやってみましょ~dog_shy.gif

yotuba02.gif最小になるときのPが線分EF上にあることを利用する

まずは上で述べたことを確認してみます。
Pが平面L上をあちこち動く中,果たして 2PB^2+PC^2 が最小になるときとはどんな時なのか。
その範囲をどんどん狭めていきます。
まず 2PB^2+PC^2 が最小になるときと 2PE^2+PF^2 が最小になるときは同じであることを確認しましょうdrink_hottea.gif

f2.jpg

次にPが直線EF上にあるときに絞ります。
Pから直線EF上に垂線PP’を下したとき, PE>P’E, PF>P’F なので
2PE^2+PF^2 よりも 2P’E^2+P’F^2 の方が小さくなるので
少なくとも最小値を与えるPは直線EF上に無ければなりません~
というのも,直線EF上に無かったとしたら 2P’E^2+P’F^2 が最小値より小さくなるので矛盾してしまいますねdokuro.gif

f3.jpg

今度はPが特に線分EF上にある場合に絞れることを確かめます~hiyo_face.gif

f4.jpg

f5.jpg

Pが十分にEに近いとき,すなわちPEの長さが十分小さいときは3PE<2EFが成り立つので,
確かに 2PE^2+PF^2<EF^2 を満たすPは存在します。

Pが線分EF上にあるということは,Pは線分EFを t:(1-t) (0≦t≦1) に内分する点になっているわけです。
そのような点の座標は(1)で求めてあるので,Pの座標をそのようにtの式で表すことが出来ます~
あとはその値を使って, 2PB^2+PC^2 か 2PE^2+PF^2 かを計算して最小値を求めればOKです~kaeru_en2.gif

f6.jpg

   f7.jpg



2PE^2+PF^2 を計算する場合を考えてみましょう~korobo.gif
EとFの座標の求め方は前回やりましたので省略です~
さて上で求めた計算式からPEの2次関数で表してみましょ~

f9.jpg


シンプルに計算するパターンもアリですねkiraneko.gif

f10.jpg
f11.jpg

でもちょっと待ってくださいなkojika.gif
Pは線分EFを t:(1-t) に内分する点だったはず。
ということは,EFの長ささえ計算してしまえば,瞬時にEP=tEF,FP=(1-t)EFであることが分かりますね~kirakira.gifkirakira.gif

f12.jpg


なお,EとFの座標を求めなくてもEFの長さは計算できてしまいますramen(1).gif
(下の図ではBとEが図から落ちてしまってますね><)

f13.jpg
f14.jpg


ちなみに,最小値を与えるときのPに対してEP:PF=1:2が成り立っていて,
またBE:CF=1:2です。実は2つの直角三角形BEPとCFPは相似になっています。
これが何か意味のある事実なのかどうかはよくわかりませんが~mikan01.gif

それとはまた別ですが,一般論として線分AB上に点Pを取ったときの aAP^2+bBP^2 (a>0,b>0)の値の最小値については次のようなことがいえますkatorisenko02.gif

f15.jpg

今回の問題ではちょうど線分EFを1:2に内分する点が最小値を与えるPの位置です~katudon.gif

f16.jpg



yotuba02.gifPを平面L上の一般の点として扱う場合


さて,ここまで(1)の結果を利用した解法を示していましたが,(1)を無視して解くことも出来ます。
実際の試験場では,最小値を取るPが線分EF上だってことを確かめることが出来なかった人もきっと多いはず。
(1)の答えは分数とか入ってるし計算がしづらいので,実は案外(1)の結果を使わない解法の方が計算は楽チンだったりもしちゃうんですjitensya.gif

Pは平面L上の点なので(X,Y,1-X-Y)とおけますね。この値を使って計算します~hiyoko03(1).gif

f8.jpg

平方完成2回するだけで答えが出てきますね~heart22.gif
楽チンに見えますが,2変数の2次関数ということで,
もしこれが2次関数の単元の問題だったら一応発展問題的な扱いがよくされていますレdensya.gif


【参考】ちなみに2変数関数6X^2+6Y^2+6XY-8X-6Y+46に関して,
Xで偏微分して=0とおくことで 6X+3Y-4=0 が,
Yで偏微分して=0とおくことで X+2Y-1-0 が得られ,この2式が極値を取るための必要条件で
2式を解いてX=5/9とY=2/9が得られます。これは最小値を与えるときのXとYですrabi_love.gif



   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東北大 入試 数学 受験 空間ベクトル 平面の方程式 法線ベクトル 内分 ベクトル方程式 2次関数

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