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2013年センター試験数学I・A 第4問

2013.02.19 19:13|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学I・A 第4問をやります~

問題はこちら~算数mini

e19_20130219124313.jpg
e20.jpg
e21.jpg

個数の処理と確率の問題ですね~
4つある大問の中でも一番普通というか安心感のあるものになってます~
特に1つ前の大問3,平面幾何の問題は非常に厄介だったので
それに比べるとオアシスのようです。
大問3で行き詰まったら,さっさとこっちの問題を済ましてしまった方が絶対にお得です~star04.gif


1,2,3,4の数字を使って4桁の整数を作るという
シンプルなシチュエーションです。
最初から最後まで非常に基本的な設問になっているので
基本を押さえていれば恐らく手詰まりになることはないはずです~

最初は重複を許して作られる4桁の自然数は何種類あるか求めるものです。
各桁の数字が1,2,3,4の4通りずつあるので
4^4=256通りですね

e1_20130219124153.jpg

別の求め方としては,作られる自然数をパターン分類して
それぞれの個数を求めるとかありますね。

 4つの数字が全て同じもの
 2種類の数字が2個ずつ使われるもの
 3個が同じ数字で残り1個が別の数字であるもの
 2個が同じ数字で残り2個がそれぞれ別の数字であるもの
 各桁の数字がすべて異なるもの


に分類できます。
それぞれについて個数を求めて足すのは面倒ですが,
この後の設問を見ると,結局すべての場合について
個数を求める必要が出てきそうですね~rajio02.gif


具体的な考え方や計算方法は後々を参照するということにして
とりあえず各パターンの個数は以下のようになります

e2_20130219124154.jpg


次の設問は,すべての数字が異なるものの個数を求めるものです~
これは1,2,3,4の数字を1列に並べる順列と考えて良いですね
だから4!=24通りが正解です

e3_20130219124154.jpg


次は,2種類の数字が2個ずつ使われるものの個数を求めます。
親切にも誘導付きです。
まず1,2,3,4のうち,どの2種類を使うかを選択します。
それを A,B (ただしA<B)とすると,各組(A,B)に対し
AABB  ABBA  ABAB  BBAA  BAAB  BABA
の6通りの自然数が作られます。
この6通りという数字は,4つの桁のうち,どの2箇所にAが入るかの
選択の数と一致します。
Aの入る位置が決まると残りの2箇所にBが入ることになり,
すべての桁の数字が確定してしまうのですね~onegai03t.gif

よって,(A,B)の組の数(6通り)に上の6通りをかけて
6×6=36通りが,2種類の数字が2個ずつ使われるものの個数です。

e4_20130219124154.jpg


このように問題文の誘導に乗って考えると答えを出しやすいのですが,
誘導の意図がわからず,うまく誘導に乗れない人もいるかもしれません。
個数の処理の問題について自分なりの固定した解き方を持ってる人なんかは
普段と違う考え方を強要されると混乱してしまうこともあるでしょう。
特に,順列で考えるべきものと組み合わせで考えるべきものの混同が厄介ですningyou.gif


この36通りという答えも,もちろん別の考え方で導き出すことができます。

例えばさっきの
AABB  ABBA  ABAB  BBAA  BAAB  BABA
の6通りの自然数。
これをA2個,B2個を1列に並べる順列とみなしても6通りと導いても良いですね~mayo01.gif


e5_20130219124154.jpg


始めに,使う2種類の数字を選択してしまうと,
その2文字を使って作られる自然数は上で見たように6通りになります。
そうではなくて,始めに,作られる自然数のパターンを分類すると
AABB  ABBA  ABAB
の3タイプが有ることが分かります。
Aに入る数字は1,2,3,4の4通りで,Bに入る数字は3通りです。
このように考えて3×4×3=36通りとしてもOKです~

e6_20130219124154.jpg
 
 e7_20130219124228.jpg





ここから先の設問は確率も絡んできます。
作られる自然数のタイプ別に得点が決まっているみたいですね。
各点数に対する確率を求めて,期待値を出して欲しいようです

得点が9点になるのは,すべての桁が同じ数字のもの。
これは,1111,2222,3333,4444の4通りです。
全体の場合の数は冒頭で求めた256通りですよー。
したがって確率は 4/256=1/64 で正解です~matuba02.gif


得点が3点になるのは,2種類の数字が2個ずつ使われるものなので
さっき求めた36通りありますね

e8_20130219124228.jpg



次は2点になる場合です~
3個が同じ数字で残り1個が別の数字であるものの個数を求めます。
これも考え方は色々有りそうですねーkinoko05.gif



a3個,b1個が使われるとしたら,aに入る数字の選択が4通り,
bに入る数字が3通りあり,あとはa,a,a,bの順列を考えれば良いです~

e9_20130219124228.jpg



始めにパターン分類をすると
AAAB  AABA  ABAA  BAAA
の4パターンがあります。上で順列計算で済ませたものを具体的に
書き挙げたということに相当しますね。
あとはAに入るのが4通り,Bが3通りです

e10_20130219124228.jpg


始めに使う2種類の数字A,Bを選択すると,各組(A,B)に対して
AAAB  AABA  ABAA  BAAA
BBBA  BBAB  BABB  ABBB

の8パターンの自然数が作られますkashiwamochi01.gif


e11_20130219124228.jpg





1点になるものが一番計算しづらいかもしれませんね。
2個が同じ数字で残り2個がそれぞれ別の数字であるものです。

a2個,b1個,c1個使うとしましょう。
aの選択は4通りあり,(b,c)の組は3通りあります。
各(a,b,c)の組に対して,a2個,b1個,c1個を1列に並べる順列が
12通りあるので,求める場合の数は 4×3×12=144通り になりますjitensya.gif

ややこしい話ですが, aabc と aacb を別物でカウントしてるので
b,cについては順列計算で3×2ではなく,組み合わせ計算で3通りとしなければいけません


e14_20130219183819.jpg

e15_20130219183523.jpg



始めにパターン分類すると
AABC  BAAC  BCAA  ABCA  ABAC  BACA
の6パターンあります。6という数字は順列計算でも出せます。
Aに入るのが4通り,Bに入るのが3通り,Cに入るのが2通りです。
1つ前の解法とは違って(b,c)を組み合わせ計算ではなく順列計算する考え方です。

e12_20130219124229.jpg
e13_20130219124256.jpg



1点のもの以外の場合の数は出尽くしているので,
余事象を考えてもいいですねーheart13.gif

e16_20130219124257.jpg
e17_20130219124257.jpg




最後は期待値を出しておしまいです。
0点の確率はわざわざ求める必要はありません~
期待値計算の中で, 0×(得点0の確率) という項が出てきますが
どうせ0になってしまいますからねーdog_love.gif
全確率が1になってることを確かめたいという場合には,
得点0の確率を求めることにも意義が出てきますけどね


e18_20130219124257.jpg








これでセンター試験数学I・Aはおしまいです~
センター試験数学II・Bに続くわけですが,それは一旦置いておいて
次回からは先日行われた宮城県の前期公立高校入試の解説をします~dolphin.gif






   
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ジャンル:学校・教育

タグ:2013 センター試験 個数の処理 確率 順列 組み合わせ 期待値

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