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平成25年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第三問

2013.02.24 00:36|高校入試問題
どもども。

今回はこの間行われた宮城県公立高校入試の前期試験の数学第三問をやります~

問題はこちら~kaerum.gif
m7_20130223154916.jpg
 m8_20130223154916.jpg


1次関数の応用問題ですねー
問題文が長くて,そして色々な条件があって,
まず状況を理解するのに時間がかかるというよくあるパターンです。
まるで理科の実験の問題みたいですよねー


第1展望台と第2展望台があるタワーに関する問題です。
スカイツリー開業のタイミングもあってか,
もしかしたら今年の入試問題にはタワー関連の問題が随所に見られるかもしれませんね

1は連立方程式の応用問題です。
14人の集団がタワーに遊びにやって来ました
14人のうち何人が大人で何人が子供かは分かりません。
第1展望台と第2展望台それぞれに大人料金と子供料金が設定されています。
第1展望台に行ったのが14人のうち大人1人と子供2人。
残りの11人はみんな第2展望台に行きました。
14人が払った入場料の総額を手掛かりに子供の人数を探ってくれという問題です~ipon.gif


g1_20130223225213.jpg

大人を x人,子供を y人 とおきますね。
連立方程式を立ててxとyの値を求めます。

1本目の式は分かりやすくて,人数が全部で14人なので
x+y=14 ……
で与えられますinsect_kuwa_m.gif


もう1本は入場料の関係式で与えますよー。
第1展望台に行った3人の分の入場料は
大人1人分1800円と子供2人分1600円の和で3400円です。

残りの11人は全員第2展望台に行ったわけですが
この11人のうち,大人は(x-1)人,子供は(y-2)人です。
したがって,この11人の分の入場料は
2600(円)×(x-1)(人)+1200(円)×(y-2)(人)
で計算ができます。

これで2本目の式
3400+2600(x-1)+1200(y-2)=23600 
が与えられます。これはもう少し整理してやると
13x+6y=126 ……
になります~insect_kabuto_s.gif


g2_20130223225213.jpg

 加減法で連立方程式を解いてみる

 と  の2式からxとyを求めます。
連立方程式の解き方としては加減法と代入法がありましたが
まずは加減法で解いたらどうなるか見てみます。
xかyを消去できるように  の両辺を何倍かします。
xを消去できるようにするには13倍,yを消去できるようにするには6倍
しなければなりませんから,簡単な方のyを消去する作戦がいいでしょうkawauso.gif



g3_20130223225213.jpg


 代入法で連立方程式を解いてみる

次は代入法で答えを出してみます。
x=14-y を  に代入するか,あるいは
y=14-x を  に代入するかすれば良いでしょう~
前者だと13×14を計算しなきゃいけないので後者のほうが少し楽かも~kitune.gif


g4_20130223225213.jpg


 鶴亀算で解いてみる

連立方程式を使わなくても,算数の考え方で
いわゆる"鶴亀算"の問題として捉えることもできます。
第1展望台に行った3人の分の入場料が3400円だったので,
総額の23600円からこれを引いた20200円が残り11人の入場料の総額ですkorobo.gif

さて,この11人が全員子供だったと仮定してみます。
すると11人分の入場料は, 1200(円)×11(人)=13200(円)
となります。実際の金額20200円より7000円少ないです。
つまり,全員が子供だったとしたら辻褄が合いません。
ということは,何人か大人がいたということになりますね。

大人1人と子供1人の入場料の差は1400円です。
つまり,大人は子供より1400円だけ余分にお金を取られるということです。
7000÷1400=5 ですから,
1400円だけ余分に取られた人間が5人いることになります。
これは,11人のうち大人が5人いた事を意味しますkojika.gif

したがって,第1展望台に行った大人が1人,第2展望台に行った大人が5人
ということになるので,14人のうち大人は6人いたということになり,
子供の人数は残りの8人だったという結論になります。

g5.jpg
g6.jpg




次はタワーに付いている2台のエレベーターに関する問題です~
どちらのエレベーターも速度は同じで秒速5mです。
ただし,動き方が違っていて,
エレベーターAは地上と第1展望台との間を2往復,
エレベーターBは地上と第2展望台との間を,第1展望台を経由しながら2往復です。

どちらのエレベーターも地上または各展望台に着くごとに30秒停止します。
注意すべきは,エレベーターBは行きでも帰りでも第1展望台では30秒停止することです。
この動き方の認識を誤ると大惨事です。
停止する箇所が足りなくならないようにしましょう~

g7.jpg

はじめの設問は,エレベーターAが地上を出発して第1展望台まで行って
戻ってくるまでの時間を求める問題です。
第1展望台では30秒停止するので,
上昇時間+30秒+下降時間 で答えが出せますねー
地上から第1展望台までの高さは300mなので,
上昇時間は 300(m)÷5(m/秒)=60(秒)ですladybug.gif
エレベーターはいつでも秒速5mなので,
上昇時間と下降時間はどちらも同じです。

g8.jpg
  g9.jpg


問題冊子には親切なことにグラフが描ける方眼紙状のスペースが用意されています。
次の問題を解くための準備にもなるので,グラフを描いて考えるのも有効ですkuma_fly.gif

2台のエレベーターのグラフは以下のようになります。
このグラフから正解の150秒後を求めても良いです~

g10.jpg

g11.jpg



上の図を見ると,90秒後以降,青のグラフと赤のグラフは2回交わっていますね~
交わっている所では2つのグラフのy座標が等しいので,
2つのエレベーターは同じ高さにいます。一方が上昇,もう一方は下降しているので
ちょうど2台のエレベーターはすれ違っています。

次の設問は2回目にすれ違う時の両エレベーターのいる高さと,
その時刻が1回目にすれ違ってから何秒後かを求める問題です。


 方程式を立てて求めてみる

まずはグラフを参考にしながら方程式を立てて
普通に計算で求めてみます。

1回目にすれ違う時刻を求めてみましょう。
グラフを見ると,その時刻が 210≦x≦240 の範囲内にあることが分かります。
x=210 ではエレベーターBは y=300 という分かりやすい位置にいますが
エレベーターAはちょっとよく分からない位置にいますね。

そこで,両エレベーターが分かりやすい位置にいる x=180 を基準にして
考えてみます。最初に交わるのが180秒後の時点からt秒後であるとします。
つまり, x=180+t でグラフが交わっているとしますm_0054.gif

エレベーターAは x=180 以降の t 秒間はずっと上昇しているので
x=180+t の時点では高さ y=5t (m) の位置にいます。
一方,エレベーターBは x=210 までは停止しているので,
下降しているのは (t-30)秒間です。
よって,x=180+t の時点では高さ y=300-5(t-30) (m) の位置にいます。
この2つが等しいはずなので,
5t=300-5(t-30) と立式できます~

これを解くと t=45 になるので,最初にすれ違う時刻が
x=180+t=225 であることが分かります

g12.jpg
  g13.jpg



2回目にすれ違う時刻も同様に考えます~
2つのグラフは 300≦x≦330 の範囲で交わっていますが
x=300 ではエレベーターAが中途半端な位置にいるので
両エレベーターが分かりやすい位置にいる x=270 を基準に考えます。
x=270+s で2つのグラフが交わっているとします

すれ違うときに上昇しているのはエレベーターBで,
上昇時間は (s-30) 秒です。
一方,エレベーターAはs秒間下降しています。

g14_20130224035033.jpg
g15_20130224035541.jpg


1回目と2回目のすれ違う時刻が出てきたので
差をとることで答えが出てきますね~
また時刻 x=315 のときの両エレベーターの高さも出せますね


g15 2



 1次関数の式を利用して求めてみる

どちらのグラフも線分をつなげた折れ線になっているので
1次関数の式を利用して答えを出してみるのも良いと思います~m_0137.gif

1回目にすれ違う時刻を出してみましょう。
エレベーターAのグラフは 180≦x≦240 の範囲では
(180,0)を通る傾き5の直線になっています。
この直線の式を求めます。 
y=5x+b とおいて(180,0)の座標を代入してbを求める
というやり方でもいいですし,
点(p,q)を通る傾きaの直線は y=a(x-p)+q とおけるという,
中学校では普通やらないけど便利な性質があるので
それを利用しても良いです。
いずれにせよ,この直線の式は y=5x-900 になりますよ~xmas_tonakai.gif


エレベーターBの方の式は 210≦x≦270 の範囲において
点(270,0)を通る傾き-5の直線になっています。
これは計算すると y=-5x+1350 になりますよー。

2直線の交点のx座標が1回目にすれ違う時刻です~butterfly07.gif


g18.jpg



2回目にすれ違うところも同様にやります~
エレベーターAのグラフの式は 270≦x≦330 では
点(330,0)を通る傾き-5の直線 y=-5x+1650,
エレベーターBのグラフの式は 300≦x≦360 では
点(300,0)を通る傾き5の直線 y=5x-1500 です。

この2直線の交点のx座標が2回目にすれ違う時刻,
y座標がその時の両エレベーターのいる高さですneko(1).gif


g19.jpg



 グラフの対称性を利用して求めてみる

最後は,計算せずにグラフを見るだけで1回目と2回目のすれ違う時刻を
求めるやり方を考えます~

グラフをよく見てみましょう。

g10.jpg

180≦x≦270 の範囲に注目です。
ここだけ抜粋してみると,赤と青のグラフを合体したものは
なんだか左右対称っぽくないですか?
2台のエレベーターは,どちらも速度は秒速5mでした。
よって,本当に左右対称になっているんですmushi.gif

対称軸は x=180,270 のちょうど真ん中の位置なので
直線 x=225 です

というわけで2つのグラフの交点のx座標は x=225 になります。
計算せずに求めてしまうことが出来ました~~

同様に, 270≦x≦360 における対称性に着目すると
2回目にすれ違う時刻は x=270,360 のちょうど真ん中の
x=315 であることが計算せずに分かります~

g16.jpg
g17.jpg





工夫次第ではあっさり答えも出せる問題でしたね

次回は第四問をやります~08(1).gif








   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:宮城県 公立高校入試 入試問題 前期試験 平成25年度

コメント

No title

宮城県公立高校(前期選抜)平成25年度数学第三問 2.(2)の問題の解説の中に「エレベーターAはx=180以降のt秒間はずっと上昇しているのでx=180+tの時点ではy=5t(m)の位置にいます」とありますが、なぜこのy=5tになるのか理解できないので教えてください。

No title

宮城県公立高校(前期選抜)平成25年度数学第三問 2.(2)の問題の解説の中に「エレベーターAはx=180以降のt秒間はずっと上昇しているのでx=180+tの時点ではy=5t(m)の位置にいます」とありますが、なぜこのy=5tになるのか理解できないので教えてください。

No title

コメントありがとうございます~

x=180 を基準として考えるというのは, x=180 を通常で言うところの x=0
のように取り扱うということです。
x=180 のときエレベーターは高さ0mのところにあるので y=0 ですね。
1秒後には高さ5mの位置まで上昇するので y=5 です。
この1秒後と言うのは x=180 から見て1秒後ですので, x=181 を指します。
2秒後には高さ10mの位置まで上昇するので y=10 です。
3秒後には高さ15mの位置まで上昇するので y=15 です。
4秒後には高さ20mの位置まで上昇するので y=20 です。
5秒後には高さ25mの位置まで上昇するので y=25 です。
このように考えていくと,
t秒後には高さ 5t mの位置まで上昇するので y=5t となるわけです~
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