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平成25年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第四問

2013.02.25 00:17|高校入試問題
どもども。


今回はこの間の宮城県公立高校入試の前期試験,数学の第四問をやります~

問題はこちら~kaerum mini

m9_20130224151534.jpg
  m10_20130224151535.jpg


1次関数,2次関数を含めた関数の総合問題ですねー
序盤はサービス問題ですが
最後の問題はちょっと難しめです~




y=ax^2 のグラフと原点を通る直線 ℓ が与えられています。
最初の設問は ℓ の方程式を求めるものですね。

直線なので y=Ax+B とおいて,
この直線が通る2点(0,0),(-2,1)の座標を代入して
A,Bに関する連立方程式を立ててそれを解く,
というのが常套手段ですね。

今回は原点を通る直線ということなので,いわゆる比例の式ですosake02.gif
y=Ax という形で書けることが最初から分かります。
まぁ, y=Ax+B という形から出発したとしても
(0,0)の座標を代入すれば,直ちに B=0 が出てきますけどね

h1_20130224151157.jpg
h2_20130224151157.jpg


方程式を立てずに直線の傾きを求めることもできますよー。
一般に,xが a 増加した時にyが b だけ増加したとすると,
その直線の傾きはb/a
になりますonegai03t.gif


h3_20130224151157.jpg


今の問題では直線 ℓ は(0,0),(-2,1)を通る直線ですが,
原点を基点として考えると,xが2減少するとyは1増加することが分かります。
これは言い換えると,xが-2増加するとyは1増加するとみなすことが出来るので
傾きは 1/(-2)=-1/2 になることが分かります~mikan01.gif


h4_20130224151157.jpg



次の設問は放物線y=ax^2のaを求めろというものです~
これは単純で,(-2,1)の座標を入れて計算すればおしまいです~

h5_20130224151157.jpg


さて,ここから少しずつ難しくなっていきます~
放物線と直線の上にそれぞれBとCを取ります。
この2点は,x座標が正になる範囲にあり,どちらもx座標が等しいそうです。
つまりBCはx軸と垂直,y軸と平行になっています。
BCとx軸の交点をDとするとき, BD=2DC となるのはどんな時か
という問題ですkoinoburi08.gif

B,C,Dはどれもx座標が等しいので,これをx=kとおきますね~
そうすると,B(k,(1/4)k^2),C(k,(-1/2)k),D(k,0)
と書けます。このとき,
BD=(1/4)k^2, DC=(1/2)k
になります。
Cのy座標は負なので,DCの長さは (-1/2)k ではなくて (1/2)k なので
注意してください。

座標が正か負かによって,長さを出すときに符号を「+」にしたり「-」に
したりするのが煩わしいかもしれませんが,
一般に,x座標の等しい2点P(x,p),Q(x,q)があって,p>qであるとき
PQの長さは p-q 
になりますkinoko05.gif

これに当てはめると BD=(1/4)k^2-0=(1/4)k^2,
DC=0-(-1/2)k=(1/2)k となって機械的に長さを出すことができますね~

h6_20130224151158.jpg


あとは BD=2DC とおいてkを求めればOKです~~

h7_20130224151230.jpg


B,Cの座標を設定して,その時の長さの関係について方程式を立てたのが
今の解法でしたが,Bの座標を設定したときにCの座標が満たすべき条件で
方程式を立てる考え方もあります~

B(k,(1/4)k^2)とおくと,D(k,0)なので BD=(1/4)k^2 で,
BD=2DC より DC=(1/8)k^2 にならねばならないので
C(k,(-1/8)k^2) と書けるわけですね。
これが直線 ℓ 上にあるという条件で方程式を立てます~

h8_20130224151231.jpg



いよいよ面倒な最後の設問です。
B(4,4)のとき,C(4,-2),D(4,0)です。
また,E(0,4)として直線DE上に点Pを取るそうです。
このとき △ABC=△ABP となるのはPがどこにあるときですか
というのが問題です。

図を描いてみると何となく分かると思うんですが
Pが線分ABとDEの交点と一致しているときは
△ABPはつぶれてしまっているので面積は0で,
そこをスタート地点として,だんだん線分ABから離れていくと
より遠くにあればあるほど△ABPの面積は大きくなっていきますね~

だんだん大きくなっていく中で,どこかでちょうど△ABCの面積と
等しくなってしまう場所が,直線ABより上側と下側に1箇所ずつあります。
そういうわけで,条件を満たすPは2つあるんですね~jitensya02.gif

下側にある方をP_1,上側にある方をP_2とおきます。
この2点を求めましょうというわけですねー

h9_20130224151231.jpg



厄介な問題ですが,色々な解法があります。
今回はいくつかやってみようと思います。
なお,高校で習うやり方も含めると更に色々な解法が考えられますよー。








 直線ABと平行な直線を利用する

まずは,いわゆる等積変形の考え方を活用したやり方です~
これは図形を面積を保ったまま別の形に変形するような作業のことを言いますよーgirl09.gif



三角形の場合,面積公式は底辺×高さ÷2でしたから
底辺ABを共有する2つの三角形ABCとABPがあったとすると,
両者の面積の比は高さの比と一致してしまいますね。
Cを通るABに平行な直線mを引くと,m上のどこにPがあっても
△ABCと△ABPは高さの値が一緒になってしまうので
△ABCと△ABPは面積も一緒になってしまいます


h11_20130224151231.jpg


この考え方を利用してP_1を見つけてみましょう~
△ABCと△ABP_1は底辺ABを共有しています。
そこで,Cを通り直線ABと平行な直線m_1を引いてみましょう~~

h10_20130224151231.jpg


m_1上のどこにPを取っても △ABC=△ABP になりますが
今は,Pは直線DE上に取らなければならないという制約がありました。
ちょうどm_1と直線DEは1点で交わります。
この点こそが我々が探していたP_1になるというわけですね~curry01.gif

あとは具体的にこのP_1の座標を求めていけばいいわけです。
m_1の方程式を求めるためには直線ABの傾きを求めなければなりません。
A(-2,1),B(4,4)を通る直線の方程式を求めて
そこから傾きの値を拾ってもいいですし,
序盤に挙げたような,方程式を立てずに直線の傾きを求めるやり方を使ってもいいです。

傾きはちなみに計算すると1/2になります。
m_1は,C(4,-2)を通る傾き1/2の直線ということになりますね。
これは y=(1/2)x+k とおいてCの座標を代入してkを求めてもいいですし,
点(p,q)を通る傾きaの直線が y=a(x-p)+q と書けるという
小技を使って求めても構いません。

最後に,求めたm_1と直線DEの交点を計算すればOKです~


h12_20130224151231.jpg
h13_20130224151259.jpg



それではP_2の方はどうやって求めましょうか?
底辺ABを共有している2つの三角形の面積の比は
高さの比と一致するという話がありました。
P_2はCとはABを挟んで反対側にありますが,
高さが一緒になるように取ってやることは出来るはずです。

下の図のように,ABとm_1の間の幅と同じ幅の平行線m_2を
反対側に引いてやれば,m_2上のどこにPを取っても
△ABC=△ABP になるというわけですbye03.gif


h14.jpg


では今の問題の場合,どのようにしてm_2を求めればいいのでしょうか。
2通りのやり方を紹介してみます。


まず第一に,直線m_1,ABとy軸との交点をそれぞれX,Yとおきます。
このとき XY=6 になっているんですが,
Yを挟んでXと反対側に YZ=6 となるように点Zをy軸上に取ります。
Zを通り直線ABと平行な直線m_2を引きましょう。
この直線上にXから垂線XIを引いて,ABとの交点をHとします。

h15.jpg

△XIZに注目すると,HY // IZ かつ XY=YZ より
中点連結定理から XH=HI が成り立ちます。

XH=HI というのはつまり,直線AB,m_1間の幅と,直線AB,m_2間の幅が
等しいということです。
こうやって目的の直線m_2が得られるんですねbeen.gif
このm_2と直線DEの交点がP_2ということになります~

h16.jpg


h17.jpg
h18.jpg
h19.jpg



もう1つのm_2の求め方を紹介します。

A(-2,1)を通るBCと平行な直線上に AC’=CB となるような点C’を,
直線ABより上側に取ります。
BCがy軸に平行なので, BC=6 であること,C’(-2,7)であることは
容易に分かります。
このように取ると,四角形ACBC’は平行四辺形になりますよ~aicon_64.gif

このとき,C’を通りABに平行な直線を引くと,
これが目的のm_2になっています~

なぜかというと, △ABC≡△BAC’より
△ABC=△ABC’ になっているからです~
このm_2のどこにPを取っても △ABP=△ABC’=△ABC になりますが,
これは,直線AB,m_1間の幅と,直線AB,m_2間の幅が
等しいということですaicon_130.gif
もっと単純に,△ABC≡△BAC’なんだから,C,C’からそれぞれABに下した垂線の長さも
当然等しいから,といってもいいですね。

h20.jpg



他にも,例えば直線ABに関する点Cの対称点を通りABに平行な直線として
m_2を求めるなどの方法もありますよ~8190575.gif




 △ABPの面積を具体的に計算して△ABCの面積と等しくさせる

上の解法は,実際に△ABCや△ABPの面積の値を計算せずに答えを出すやり方でした。
今度は実際に面積を計算して方程式を立ててみます。

△ABCについては全ての頂点の座標も判明しているし,
BCがy軸に平行なので,BCを底辺とみて面積を出すことが容易です。

h21.jpg

このように,少なくとも1つの辺がx軸かy軸に平行になっているような
三角形の面積は計算するのが簡単なんです8257377.gif

一方で△ABP_1,△ABP_2はそのような三角形かはまだ分かりません。
まずは△ABP_1について考えますが,P_1の位置については
直線BCより左側にあるか右側にあるか,あるいは直線BC上にあるのか
3通りの可能性が考えられます。
P_1は直線DE上の点だったので,もし直線BC上にあるとしたら,
それはDと一致しなければなりませんねー
Dは線分BC上の点なので △ABD<△ABC になっています。

P_1の位置が直線ABから遠ければ遠いほど△ABP_1の面積は大きくなるので
△ABC=△ABP_1 となるためには,P_1はDよりもっと右側に来なければいけませんねー8269809.gif


h24.jpg
h26.jpg




△ABP_1の面積を計算するためのアイデアはいくつか考えられます8261165.gif


 アイデア1:P_1を通りy軸に平行な直線と直線ABの交点Qを活用する


h22.jpg

P_1を通りy軸に平行な直線と直線ABの交点をQとします。
△ABP_1は△AP_1Qの面積と△BP_1Qの面積の差として求めることが出来ますねー
△AP_1Qと△BP_1Qはどちらもy軸に平行なP_1Qを1つの辺として持っているので
面積計算が比較的簡単です。

計算のしやすい三角形の和や差に分解して計算しやすいというのが
座標を使った考察の強みです~~~8190547.gif

P_1は直線DE:y=-x+4 上の点なので(s,-s+4)とおけます。
Qは直線AB:y=(1/2)x+2上の点なので(s(1/2)s+2)になります。
これで△AP_1Qと△BP_1Qの頂点は出揃ったので,
必要な長さを求めて面積計算が出来ますね。

h25.jpg
h23.jpg
h27.jpg

△AP_1Q-△BP_1Q の計算は上のやり方のように
因数分解を途中で取り入れると少し計算が楽ですよー
さりげない工夫ですが,X=(1/2){(3/2)s-2}とおくと良い,
みたいなヒントでも無いと中学生には少し難しいかも?



この方法にならってP_2も求めてみます。
Aを通りy軸に平行な直線と直線DEとの交点をFとします。

h28.jpg

P_2はFより左にあるのか右にあるのか,あるいはFと一致するのか。
その考察からスタートです15927445.gif


Fの座標は(-2,6)になるので△ABFの面積は計算すると15になります。
これは△ABCの面積18よりも小さいです。
したがって,P_2はFよりもっと遠くになければ △ABP_2=18 にはなりません。
P_2はFより左側にあるんですね~

h29.jpg


P_2を通りy軸に平行な直線とABの交点をRとしましょう。
P_2(t,-t+4)とおくとR(t,(1/2)t+2)です。
△ABP_2=△BP_2R-△AP_2R になるので,あとはこれを計算して
方程式を立てて解けばOKですー


h32.jpg


h30.jpg

h33.jpg




 アイデア2:Bを通りy軸に平行な直線と直線AP_1の交点Gを活用する

再び△ABP_1の面積について考えます。
さっきとは別の分割の仕方を考えてみましょう。
Bを通りy軸に平行な直線(これは直線BCです)と直線AP_1の交点をGとします。

P_1は直線BCより右側にあるということでしたので
△ABP_1は2つの三角形ABG,P_1BGに分割されます。
P_1(s,-s+4)とおくと,直線AP_1の式はsの分数式を含む
ちょっとゴチャゴチャしたものになります15927440.gif



h34.jpg


Gの座標やBGの長さなどもsの分数式になってしまいますが,
やる作業としては1つ前にやった解法と基本的には同じです~

h35.jpg

分数式が入る分,1つ前の解法より若干複雑で面倒ですね~
このように,同じような作戦をとる場合においても
分割の仕方次第で手間のかかり具合に差が出てしまうことが分かります。
作戦選びは重要ですねー15927446.gif



この方法にならってP_2も出してみます。
P_2は1つ前の解法に出てきた直線AFより左側にあるんでしたね。
直線AFと直線BP_2との交点をG’として△ABP_2を
△ABG’と△AP_2G’に分割して考えるとよいです~

h36.jpg

 アイデア3:△ABP_1を長方形で取り囲む

他に,よく使う発想としては△ABP_1を長方形で取り囲んで
余分な三角形を切り取るというものがあります。
下図のようにタテの長さs,ヨコの長さs+2の長方形の面積から
3つの直角三角形の面積を引いたものが△ABP_1の面積ですね~


h40.jpg


△ABP_2の方も同様に出来ます~

h41.jpg





 対角線分割を活用する

次はまた別の作戦を考えてみます。
面積比を使った便利な小技として以前に紹介した対角線分割の原理がここでも使えます~11.gif
対角線分割の原理の詳しい解説はこちら~
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-59.html


今回は先にP_2を求めてしまいます。
ABとCP_2の交点をMとしましょー。
△ABC=△ABP_2 となるP_2を求めたいのだから,
対角線分割の原理より CM=P_2M となるP_2を求めればよいわけですnezumi02.gif


Mが,C(4,-2)とP_2(t,-t+4)の中点((4+t)/2,{-2+(-t+4)}/2)に
なっていれば良いですね。
Mは直線AB上の点でもあるのでABの直線の式に代入すれば t の値が出てきます~

h37.jpg



もう1回対角線分割の原理を使ってP_1を出すことができます~
P_1,P_2は直線DE上に取る約束だったので,直線P_1P_2は直線DEと一致します。
直線DEとABの交点をNとします。
△ABP_1=△ABP_2(=△ABC) となれば良いのですから,
今度は P_2N=P_1N となるようにP_1を取ってやればいいというわけですcar-usa.gif


h38.jpg
h39.jpg

なかなかあっさりした解法でしたね。
対角線分割の原理は非常に使い勝手のいい技なのでオススメです~

ちなみに自分は最初,今回の問題を,
P_1は等積変形で,P_2は対角線分割を使って求めましたよーpanda_1.gif




 △AGC=△BGP_1 に着目する

最後は △AGC=△BGP_1 に着目してP_1を求めてみます。
AP_1とBCの交点をGとします。Gはさっきも出てきましたね。
△ABP_1を,△AGBと△P_1BGの2つの三角形に分割して考える解法のところでした。

△ABC=△ABG+△AGC, △ABP_1=△AGB+△P_1BG

なので,△ABGが共通しています。したがって,
△ABC=△ABP_1 であるとき, △AGC=△BGP_1 にならなければいけませんpatikapa.gif

というわけで,△AGCと△BGP_1の面積をそれぞれ求めて方程式を立てて解けば良いというわけです~

h42.jpg

分数式が出てきたり,中学生にはやや難しめの2次方程式が出てきたり,
ちょっと面倒な解法になってしまいましたね~

P_2の方も同様に出来ます~
等積変形を使った解法の解説で,直線m_2を求めるために使った
C’(-2,7)という点があります。四角形ACBC’が平行四辺形になるような点でした。
AC’とBP_2の交点をG’とします。
△ABC=△ABC’=△ABP_2となればよいので,この条件から
△BC’G’=△AP_2G’となれば良い事が分かります。
あとは計算するだけです~nakioni.gif


h43.jpg












だいぶ長くなってきたので今回はこの辺で終了したいと思います~kaeru_yodare1.gif
いろいろな解法のある問題でしたが,
どれも中途半端な理解では答えにたどり着けないようなものでした。
日頃の学習の理解度がモノを言う感じでしたねー

次回はラストの第五問ですーcar2_tank.gif


















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