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平成25年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第五問

2013.02.26 00:54|高校入試問題
どもども。

今回は今年の宮城県公立高校入試前期試験の数学の第五問をやります~

問題はこちら~ぺんぎんmini
m11_20130225145830.jpg
m12_20130225145830.jpg


平面図形の問題です~
円が絡んだ図形問題が登場する事が多いのですが
相似,平行線の性質,三平方の定理あたりだけで片付けることができます~


i1_20130225145650.jpg


最初は △ABC∽△DEA であることを証明する問題です~
2組の角がそれぞれ等しいことをいうのが簡単ですねーtaxi02.gif

どちらも直角三角形なので1組の角は明らかに等しくなります。
もう1組は AD // BC に着目して錯角が等しくなることを利用すれば良いですよー

i2_20130225145650.jpg


AB=3cm,BC=9cm,AD=4cmのときに AE:EC を求めるのが
次の設問です~

いくつかの方法を挙げてみます~

 相似の性質でAE,三平方の定理でACを求めてAE:ECを実際の長さを使って計算

△ABCは直角三角形で,ABとBCの長さは分かっているので
三平方の定理を使えばACの長さが出てきます。

また先ほど証明したように △ABC∽△DEA なので
線分比の関係性からAEの長さを出すことができます。
ACの長さからAEの長さを引いたらECの長さが出てくるので
これで AE:EC が計算出来ますね~sakura.gif



i3_20130225145651.jpg



 △ADEからAE,△DCEからECを求めて比を出す

次は相似による線分比の関係を使わずにやってみます~
△ADEと△DCEが共に直角三角形なので,
それぞれの三角形に三平方の定理を使ってAEとECの長さを求めて比を出してみます。

DからBCに垂線DHを下すと, DH=AB=3cm,BH=AD=4cm になります。
よって HC=5cm と分かって,△DHCに三平方の定理を適用することができます。
これでDCの長さが計算出来ますね。ちなみに DC=√34cm になります。

i4_20130225145651.jpg

AE=xcm,EC=ycm とおいて,xとyに関する連立方程式を作ると
割と見通しが良いですよー。自分もよく使う手ですkinoko02(1).gif



i5.jpg
i6.jpg



xとyの連立方程式を解いて比を出したのが上の解法ですが
解かずに比を出すこともできますよーhanaji03.gif


加減法の要領ですが,xかyのどちらかを相殺させるのではなく
定数項を消去するようにします。
こうすることで x=ky の形の式が得られるので
x:y=ky:y=k:1 になるんです~

i7.jpg




 AEを求めるのに相似の代わりに面積を使ってみる

またまた相似を使わない解法です~
代わりに面積の関係式を使ってみますね。

△ADCに着目します。
ADを底辺とみなすと,高さはABの長さで与えられ,
底辺と高さ,どちらの長さも分かっているので△ADCの面積が計算できます。

一方,ACを底辺とみなすと,高さはDEの長さで与えられます。
△ABCに三平方の定理を使って AC=3√10cm が出てくるので
最初に求めた△ADCの面積の値を使って
DEの長さを求める方程式を立てることができます~

これで△ADEのAE以外の2辺の長さが判明したので
三平方の定理を使ってAEの長さが出せます。
あとはECの長さを出して比を求めれば良いですねーhana14.gif


i8.jpg

  i9.jpg



 DEを延長して△ADEと相似な三角形を作ってみる

i20.jpg

三平方の定理を使わないで答えを出すことも可能ですよ~
線分DEを延長して直線BCとの交点をGとします。
△ABC,△DEA,△GHD,△GEC は全て相似な三角形です。
線分比の関係から GH=1cm になります。

ちなみに,BH>GH からGは線分BH上にあることが分かります
(ADがすごい短いとGがBよりもっと左に来ることもあり得るので,
Gが線分BH上にあることは決して自明なことではないんですよー)。
四角形ABGEは, ∠ABG=∠AEG=90° より円に内接する四角形です。
よって内接四角形の内角の性質より ∠BAE=∠DGH で,
一方で平行線の錯角で ∠ADE=∠DGH なので,
結局 ∠CAB=∠ADE になります。
これと ∠ABC=∠DEA=90° を根拠にして
最初の設問の △ABC∽△DEA を証明することもできますよ~hana13.gif



さて,今の問題に戻ると DH=1cm,HC=5cm より
GC=6cm ですね。
このことから△ADEと△CGEの相似比は AD:CG=4:6=2:3 です。
このことから, AE:CE=2:3 であることが分かりますh-doubutu.gif


i10.jpg

   i11.jpg







最後の設問です~
AからBEに垂線AFを下したときにEFの長さを出す問題です。
これも色々とやり方があるようです~


 △ABEの面積に着目してAFを求めて三平方の定理を使う

EからABまたはBCに垂線EIを下した時にできる△BEIに
三平方の定理を使うとBEの長さが出せます。

また,△ABCは直角三角形なので面積はすぐ出せます。
AE:EC=2:3 より,底辺分割の原理から
△ABEの面積は△ABCの面積の2/5になっています。
これをBEを底辺とみて考えると高さAFの長さが出せます~
これで△AEFの2辺の長さが出てきたので,
三平方の定理を使ってEFの長さが出せます~futaba.gif


i12.jpg



 △ABFと相似な三角形を利用する

EからABへ垂線EJを引き,EJとAFの交点をKとします。
このとき△ABFと相似な三角形が
△AKJ,△EBJ,△EKFなどあります。
(実は△EKFにいたっては△ABFと合同だったりします)
これらの三角形との線分比の関係を活かしてEFを求めてみます。
EJ,JBの長さは平行線と線分比の関係性から導き出せるし,
三平方の定理からEBの長さも出せるので,
△EBJに関しては3辺の長さが割と容易に出せます。

あとは△EKFの3辺のうちEKかKFかどちらかが分かれば
相似の関係性からEFの長さを出せますね~
あるいは AB=3cm が分かってるので△ABFとの相似性に着目して
BFを求めることが出来るのでBEから引くとEFの長さが出てきますcarrot02.gif


i13.jpg
i14.jpg
i15.jpg
i16.jpg
i21.jpg





 △ABFと△AEFに着目してBF,EFに関する連立方程式を立てる

1つ前の設問で,△ADEと△DCE,それぞれの三角形に三平方の定理を使って
AEとECの長さを求めて比を出す解法を挙げましたが
それと同じパターンの解法をやってみますcar01.gif
△ABFと△AEFに着目してBF,EFに関する連立方程式を立ててみます。

i18.jpg


 BEとADを延長して△BECと相似な三角形を作ってみる


補助線を引くという作業は苦手な人が多いと思います。
特に,元々ある図形から線がはみ出してくるようなものは
なかなか思いつかないかと思います~
台形ABCDから補助線がはみ出るような解法を1つやってみます~

BEとADを延長して交わる点をLとおきます~
AL // BC となるので △AEL∽△CEB になります~
相似比は AE:CE=2:3 になっていますよー

このことから AL=(2/3)BC=6cm がわかり,
△ABLに三平方の定理を使うとBLの長さを出せます。
LE:BE=2:3 なのでLEの長さも出せます。
△ABL∽△FAL に着目すれば線分比の関係性からFLの長さも出せます。
FLの長さからLEの長さを引けば答えのEFの長さが出てきます~bye03.gif


i19.jpg







というわけで,ざっとここまで第五問を見てきました~
これで前期試験の問題は全て終了です~

後期試験はもう少し難易度的には上だとは思いますが
この前期試験の問題からなかなか出題を予想するのは難しそうですねー
前期で円の性質が出てない分,後期は普通に出てくるでしょうし
前期で球の問題出してきたから後期は出てこないんじゃないかとか
ぼんやりと予想できるものはありますが,実際どうなるかは分かりません。

まぁ落ち着いて確実に得点できるところは取っていけるように頑張りましょう~dog_love.gif











   
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タグ:宮城県 公立高校入試 入試問題

コメント

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No title

コメントありがとうございます~

解説が手元になくてお困りだったようですが,
参考になったのでしたら幸いです~

前期試験に挑まれるんですねッ!!
持っている力を大いに発揮できますよう
健闘を祈ります( *`ω´)

No title

このサイトをもとに勉強させていただいています。宮城の公立高校前期の解説をしていただけると嬉しいのですが予定はありますか?

No title

↑H26年度のです

No title

コメントありがとうございます~

参考にして頂きありがとうございます~★
H26年度の前期入試,つまり数日前に行われた試験ですね。

分かりました~取りあげるかどうか決めかねてたところだったんで,
折角だからやることにしますね~

この前期試験の出題を参考にした上で
来たる後期試験に臨もうとしている中3生の方ですかな?

そうだとしたらあまり時期が遅くなっても有効性が乏しくなってしまうでしょうし,
それなりに早めに仕上げてみますね~(…と言いつつも結構のんきな自分です( ´ヮ`))
非公開コメント

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