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2013年東京大学前期入試 理系数学 第1問 その2

2013.03.06 16:43|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~

問題はこちら~もなたんくりmini
mon1_1 (1)

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-85.html

前回は1次変換の問題とみなして行列の計算を駆使して問題を解きました~
今回は連立漸化式を解く方向でアプローチしてみますね~body_stretch.gif



 解法5:数列 {x_n-m(y_n)} が等比数列になるようなmを見つける

連立漸化式の解き方の1つに,数列 {x_n-m(y_n)} が等比数列になるように
mを定めるものがありますcutlet.gif


x_{n+1}=a(x_n)-b(y_n), y_{n+1}=b(x_n)+a(y_n) を
x_{n+1}-m(y_{n+1}) に代入してみます。

x_{n+1}-m(y_{n+1})=(a-mb)(x_n)-(b+ma)(y_n)
となるので,もしも b+ma=(a-mb)m が成り立っていたならば

x_{n+1}-m(y_{n+1})=(a-mb){(x_n)-m(y_n)}

と変形できるので数列 {x_n-m(y_n)} は
初項 x_0-m(y_0),公比 a-mb の等比数列になります~~cat_4.gif


n21.jpg

n22.jpg


解法2,3,4あたりと比べると,こちらのほうが簡単に(x_n,y_n)の一般項に
たどり着けてますね。作戦選びはやはり重要ですねー




 解法6: y_n を消去して3項間漸化式に帰着させてみる

連立漸化式のベタな解き方の2つ目として,
一方の数列を消去して3項間漸化式に帰着させるものがあります~car2_truck.gif


ここでは y_n を消去してみたいと思います。
y_n=(1/b){-x_{n+1}+a(x_n)} なので,
これを y_{n+1}=b(x_n)+a(y_n) に代入すれば数列{x_n}だけの漸化式になります~
ただし, 1/b という数値が登場するので,
解法2,3と同様に始めに a,b≠0 であることに触れておくと良いかと思います(ここでは省略)。

さて, y_n を消去して得られる漸化式は
x_{n+2}-2a(x_{n+1})+(a^2+b^2)(x_n)=0
です。
このタイプの漸化式を解くには,2次方程式
x^2-2ax+(a^2+b^2)=0 の2解p,qを用いて

x_{n+2}-p(x_{n+1})=q{x_{n+1}-p(x_n)}

および

x_{n+2}-q(x_{n+1})=p{x_{n+1}-q(x_n)}

という変形を利用すればよいというのが常套手段です~dog_shy.gif



n23.jpg
n24.jpg

n25.jpg

  n26.jpg


として一般項が得られます~
y_n の計算がビミョーに面倒ですねdokuro.gif




 解法7: x_n,y_n を三角関数を用いて表してみる

x_{n+1}=a(x_n)-b(y_n), y_{n+1}=b(x_n)+a(y_n) の2式について
両辺を2乗してみると

(x_{n+1})^2=a^2(x_n)^2-2ab(x_n)(y_n)+b^2(y_n)^2

および

(y_{n+1})^2=b^2(x_n)^2+2ab(x_n)(y_n)+a^2(y_n)^2

が出てくるので,辺々を足すと 2ab(x_n)(y_n) が相殺されて

(x_{n+1})^2+(y_{n+1})^2=(a^2+b^2){(x_n)^2+(y_n)^2}

が出てきます~
したがって,数列 {(x_n)^2+(y_n)^2} は
初項 (x_0)^2+(y_0)^2, 公比 a^2+b^2 の等比数列になっていることが分かります~dolphin.gif


(x_n)^2+(y_n)^2=(a^2+b^2)^n になるのですが, P_0=P_6 の仮定から
a^2+b^2=1 を得ることが出来るので
結局 (x_n)^2+(y_n)^2=1 が成り立ちます~

このことから, a=cosθ,b=sinθ, x_n=cosφ_n, y_n=sinφ_n
とおくことができます~drink_juice.gif



n28.jpg



このとき,条件式 x_{n+1}=a(x_n)-b(y_n) は,
cosφ_{n+1}=cosθcosφ_n-sinθsinφ=cos(θ+φ_n) と変形できます。

同様に,条件式 y_{n+1}=b(x_n)+a(y_n) からは
sinφ_{n+1}=sin(θ+φ_n)  が得られますよー


cosφ_{n+1}=cos(θ+φ_n) であるということは,各 n ごとに
φ_{n+1}=θ+φ_n+2πk (kは整数) という形か,あるいは
φ_{n+1}=-(θ+φ_n)+2πk (kは整数) という形かの
どちらかが成り立っています。

一方,sinφ_{n+1}=sin(θ+φ_n) であるということは,各 n ごとに
φ_{n+1}=θ+φ_n+2πk (kは整数) という形か,あるいは
φ_{n+1}=π-(θ+φ_n)+2πk (kは整数) という形かの
どちらかが成り立っています。

情報を総合すると,任意の n に対して 
φ_{n+1}=θ+φ_n+2πk (kは整数) という形の式が成り立つことが分かります~hiyo_en2.gif


kはnごとに違っていいので, 
φ_{n+1}=θ+φ_n+2πk_n とおいてみましょう。
(実は任意の n に対して k_n=0 としても支障はないです)

数列 {φ_n} の階差数列 {φ_{n+1}-φ_n} が
φ_{n+1}-φ_n=θ+2πk_n で与えられたので {φ_n} の一般項も表示できます。

これで x_n=cosφ_n, y_n=sinφ_n が計算できますね~

n29.jpg
n30_20130306162736.jpg

n31.jpg




 解法8:漸化式から直接(x_6,y_6)を求めてみる

x_{n+1}=a(x_n)-b(y_n), y_{n+1}=b(x_n)+a(y_n) 
の2式はどちらも大して難しい式ではありませんね。
n=6 くらいまでなら,躍起になって一般項とか計算しなくても
この漸化式から直接求めても構わない気がします~kaeru_en4.gif



n27.jpg


実際のところ, a=cosθ,b=sinθ と書けるわけですので
上の計算はn倍角の公式をn=6まで計算してるのと同等ですねm_0026.gif









そんなわけで,第1問はこれくらいにして,
次回は第2問をやっていきます~m_0030.gif







  
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東大 大学入試 数学 2013 1次変換 回転行列 連立漸化式 固有値 対角化

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