プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2013年東京大学前期入試 理系数学 第2問 その1

2013.03.15 03:18|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期東大入試の理系数学第2問をやります~

問題はこちら~kaerum mini

mon2_1.jpg


微分法の問題ですね~
2つの曲線の交点の個数が3個になるためのaの条件を求める問題です~
「aを全て求めよ。」という表現の仕方が何だか意地悪ですねー
この書き方だと,答えのaが有限個か無限個かはともかく
離散的に分布してるような印象を持ってしまいます。
問題を解くと,aの値が連続的に分布しているという事実に直面するため,
一瞬の気持ち悪さは感じてしまいます。
「aの値の取りうる範囲を求めよ。」の方が見慣れている表現の仕方ですね

y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフの共有点のx座標は
方程式 f(x)=g(x) の解で与えられますね~b_body_jump.gif
すなわち cosx/x=sinx+ax という方程式です。
これと同値な方程式の解の個数を考えてももちろん良いわけです

例えば, cosx/x-sinx=ax という方程式を考えて,
曲線 y=cosx/x-sinx と直線 y=ax の交点の個数を調べる。
あるいは,分母のxが邪魔なので払ってしまって
cosx-x(sinx)=ax^2 という方程式を考えて,
曲線 y=cosx-x(sinx)と曲線 y=ax^2 の交点の個数を調べる,
のようなアプローチなどなどが考えられます~clover.gif
x>0の範囲の解を調べるので両辺にxを掛けたり割ったりしても問題はありません~

どのような2つの関数のグラフの交点の個数に帰着させるか。
この作戦選びで問題の難易度が大きく変わってきますよ~
どうせやるなら,もちろん簡単に解ける作戦を選びたいわけですcat_1.gif

出題の時点では y=cosx/x と y=sinx+ax という
2つの曲線の交点を求める形で与えられています。
なぜこの形で与えたんでしょうか。

この形のまま考えると何かいいことがあるから,この形で与えたのか。
あるいは別の形で考えた方がいいことを見い出す能力を試したくて
敢えてこの形で与えたのか。
解くにあたって,まずはその点で悩むでしょうね。

実際のところは,元の形ではなくて,
cosx/x^2-sinx/x=a と変形して
関数 y=cosx/x^2-sinx/x と直線 y=a の交点の個数を考察するのが簡単ですcar2_truck.gif

y=cosx/x^2-sinx/x という何だかよく分からない関数よりも
y=cosx/x や y=sinx+ax といった関数のほうが,
様々な場面で出くわす機会が多そうですよね。
問題文上で y=cosx/x と y=sinx+ax の交点という形で与えたのは
この形のまま考えるといいことあるよ,と言うよりかは
少しでも身近な関数を登場人物に据えたかったという気持ちの方が強かったのではないでしょか~



 解法1:y=cosx/x^2-sinx/x と直線 y=a の交点の個数を考える

この手の問題を解く上で,某"大学への数学"あたりの雑誌で
格言のように扱われている言葉があります。
「文字定数は分離せよ」

今の問題では f(x)=g(x) という方程式を
F(x)=a の形に変形して,曲線 y=F(x) と直線 y=a の交点の個数を
数える話に帰着させるというのが,文字定数の分離作戦ですdog_happy.gif

この作戦の何が良いのか。
関数 y=F(x) はパラメータ a を含まない普通の関数です。
一方,直線 y=a はx軸に平行な直線ですね。
y=F(x) のグラフをいつも通りに微分して増減を調べて描いてしまえば
あとはそのグラフとx軸に平行な直線の交点数を調べるのは比較的簡単です。
比べる2つの関数のうち一方が著しく簡単というのは,やはり有利なのです~drink_juice.gif

とはいえ, y=F(x)=cosx/x^2-sinx/x という関数は
三角関数の混じった分数関数である上に,分母にxの2乗が含まれていて
考察が大変そうな予感がしますよね。
ところが,意外にも F’(x) は考察のしやすい関数になっちゃいます~

o6_20130314202629.jpg

F’(x)=0 の解は cosx=0 の解と一致してしまうんですね。
あとは増減表を参考にして y=F(x) のグラフを描いてみましょう~
グラフを描く上でいくつか注視しておきたいポイントがあります。

 x→+0 のとき F(x)→+∞
 x→+∞ のとき F(x)→0
 xが大きくなっていくと極大値はだんだん小さくなっていく
 xが大きくなっていくと極小値はだんだん大きくなっていく

o7_20130314202703.jpg
o8_20130314202703.jpg


y=F(x) のグラフは増減を繰り返しながら減衰していくので
a≧0 のときは a が小さいほど y=F(x) のグラフと直線 y=a の交点は多くなります。
ちょうど交点数が3個になるaの範囲を抜き出してくればいいわけですね。
a<0 のときは a が大きいほど y=F(x) のグラフと直線 y=a の交点は多くなります。
交点数が3個になるのは a=-2/(5π) のときだけになっています。


 解法2:曲線 y=cosx/x-sinx と直線 y=ax の交点の個数を調べる

別の2曲線のグラフを対象にしてみます。
解法1よりも考察が大変になりますよ~

f(x)=g(x) の式から sinx を左辺に移項して
cosx/x-sinx=ax という方程式を考えます。
こうすると今度は y=G(x)=cosx/x-sinx のグラフと 直線 y=ax の交点数を
数える問題に帰着されますねーdolphin.gif

直線 y=ax は原点を通る直線です。
直線なのでまだ考察は楽な方ではありますが,
軸と平行ではない分,直線 y=a よりは手間が掛かりそうです~

更に加えて面倒くさいことに, G’(x)=0 の解がキレイな値になりませんdokuro.gif



o9_20130314202703.jpg

G’(x)=0 の解というのは,
曲線 y=tanx と曲線 y=h(x)=-(x+1/x) の交点のx座標で与えられます。
交点は各 k(=1,2,3,…) に対して
(2k-1)π/2<x<(2k+1)π/2 の範囲に1個ずつあります~
この点のx座標を x=α_k とおくことにしますeto_ushi.gif

G’(x)=(1/x)・(cosx)・(h(x)-tanx) と書くことができて,
各 x=α_k を境に h(x)-tanx の符号は入れ替わります。
一方,各 x=(2k-1)π/2 を境にも符号が入れ替わります。
しかしながら,x=(2k-1)π/2 は cosx の符号が入れ替わる点でもあるため
結果として, α_k<x<α_{k+1} の範囲においては G’(x) の正負は
一定になっています。
そのため,各 x=α_k において y=G(x) は極値を取りますよー

o10_20130318004744.jpg
o11_20130318004935.jpg





y=G(x) のグラフを描くにあたって,もう1つ注意を払いたいポイントがあります。
G(x)の絶対値 |G(x)| は √{(1/x^2)+1} で抑えられるということですeto_uma.gif

これは G(x) をムリヤリ三角関数の合成で変形させてしまうと分かります。
A(cosx)+B(sinx) という形の式は √(A^2+B^2)cos(x+θ)
という形に変形することができましたねー。
G(x)=cosx/x-sinx もまたこの合成可能な形をしています。
ただし,係数 A,B にあたる部分もまた x の関数であるため,
θがxの値ごとに変わります。

o12_20130314202704.jpg

このことから, y=G(x) のグラフは 2曲線 y=±√{(1/x^2)+1} に
挟まれた領域の中に納まっていることが分かります~hiyo_eye.gif


o13.jpg


これで y=G(x) のグラフの概形が分かったので,
あとは直線 y=ax との交点数を数えればよいわけですね。

α_1<x<α_2 の範囲で y=G(x) のグラフに接するときの a を a_1 ,
α_3<x<α_4 の範囲で y=G(x) のグラフに接するときの a を a_2 ,
α_2<x<α_3 の範囲で y=G(x) のグラフに接するときの a を a_3 とします~

直線 ℓ_1,ℓ_2,ℓ_3 をそれぞれ y=(a_1)x,y=(a_2)x,y=(a_3)x とおきますね~isona.gif


o14.jpg
o15.jpg

この図から, y=G(x) のグラフと直線 y=ax が相異なる3個の交点を持つのは
y=ax が ℓ_1 と ℓ_2 の間にあるときか, ℓ_3 と一致する時になることが見て取れます~kaeru_en1.gif


曲線 y=±√{(1/x^2)+1} を考えたのは,
例えば ℓ_1,ℓ_2,ℓ_3 が y=G(x) に接した先で再び y=G(x) と交わることが
無いことなどを分かりやすく把握する目的があったんです~



では肝心の ℓ_1,ℓ_2,ℓ_3 を求める作業をしなければいけませんねー
ℓ_1 について考えてみます。
y=G(x) のグラフとの接点を (k,G(k)) とおきます。
この点における y=G(x) のグラフの接線 y=G’(k)(x-k)+G(k) が
y=(a_1)x と一致していればいいんです~


o16.jpg

o17.jpg

o18.jpg


面倒だったので ℓ_2,ℓ_3 の考察はちょっと手抜きしましたが,
きちんと丁寧にやったほうが親切ですね~

ちなみに, cosx/x は結構早く小さくなってしまうので
y=G(x) のグラフは y=-sinx のグラフによく似ています。

o2_20130314202628.jpg


こうして見ると,y=√{(1/x^2)+1}とy=G(x) のグラフは
ちょうど極大値を取る場所で接しているように見えますね。
実際のところはどうなんでしょうm_0006.gif


o19.jpg

G(x)=√{(1/x^2)+1} を満たす x は
tanx=-x も満たしているようです~
上の計算では両辺を2乗してるので, y=-√{(1/x^2)+1} との交点も
出てきているので注意ですよ~

tanx=-x を満たす x は, α_k のときと同様で
各 k(=1,2,3,…) に対して
(2k-1)π/2<x<(2k+1)π/2 の範囲に1個ずつあります~
この点のx座標を x=β_k とおくことにします。
-x>-(1/x+x) なので α_k<β_k です~ladybug.gif


微妙に極値を取るxとは値がずれているんですねー。
kが大きくなると α_k も β_k も両方 (2k-1)π/2 に近づいていきます~
これに伴って,どんどん β_k は α_k に近付いていくということは分かりますねー

o20.jpg






この解法2と似て非なるものとしては
曲線 y=cosx/x-sinx-ax とx軸の交点の個数を調べる
というものがあります。
sinx だけを移項した解法2とは違って
ax まで一緒に移項しちゃって方程式 cosx/x-sinx-ax=0 を考える発想ですね。

ax が左辺にあるか右辺にあるかだけでも結構話が大きく変わります。
y=cosx/x-sinx の時点でもう極値を取る x の値が込み入ったものだったのに
y=cosx/x-sinx-ax を考えると a というパラメータが付くので
ますます話がややこしくなります。
G’(x)=0 の代わりに G’(x)=a を考えなきゃいけなくなりますからね。
y=G’(x) のグラフの概形まで考察しなければいけないし
a の値ごとに極値を取るxの分布の様子が変わってきてしまいます。
さすがに面倒でやる気が起きませんねー><




さてさて,長くなってきたので一旦ここまでです~
次回は,解法2と同様に,この問題を

◎ 曲線 y=cosx-x(sinx) と曲線 y=ax^2 の交点の個数を調べる
◎ 曲線 y=cosx/x と曲線 y=sinx+ax の交点の個数を調べる

の立場から解いてみたいと思います~m_0052.gif






   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東大 大学入試 数学 2013 方程式の解の個数 微分 三角関数

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。