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2013年東京大学前期入試 理系数学 第2問 その2

2013.03.17 19:06|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~
今年の前期東大入試理系数学の第2問です~

問題はこちら箱ドットおにおん2mini
http://nyushi.yomiuri.co.jp/13/sokuho/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon2.html

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-87.html

前回は2つ解法を与えました~
同じ要領でもう2つのアプローチを今回は試してみます~etc_fire.gif



 解法3:曲線 y=cosx-x(sinx)と曲線 y=ax^2 の交点の個数を調べてみる

方程式 f(x)=g(x) すなわち cosx/x=sinx+ax は
三角関数を含んだ分数関数 cosx/x を含んでいます。
それが何だかイヤですねー

x>0 の範囲で解を考えるので方程式の両辺にxをかけて
分数関数を含まない方程式に直しても構いません。

ちなみに,通常は両辺にxを掛けるという操作をすると元の方程式と同値にはなりません~
例えば, x-1=0 という方程式の解は x=1 のみですが
両辺にxを掛けて x(x-1)=0 を考えると解は x=0,1 になるので
元の方程式と同等な方程式ではなくなってしまいますね

cosx-x(sinx)=ax^2 という方程式に直すことで
2曲線 y=cosx-x(sinx),y=ax^2 の交点数を数える問題に帰着されます。
H(x)=cosx-x(sinx) は分数関数ではないので,
見た目的には扱いやすい印象がありますね。
しかし実は,解法2の G(x) と同様で,極値を取るxはキレイな値ではありません。

また, y=H(x) のグラフと比較しなければならない関数が
y=ax^2 という直線ではない関数です。
a=0 の場合は例外的に直線 y=0 ですが,
あとで求める y=H(x) のグラフの概形から a=0 は不適であることが分かります。
よって 放物線 y=ax^2 が比較対象となるため,
解法1,2と比べて,若干手間が増えます





さて, H’(x)=0 を満たす x は y=tanx と y=-x/2 のグラフの
交点のx座標で与えられます。これは解法2の α_k,β_k を求めたときと
やり方は一緒ですねーeto_tora.gif


o21.jpg



前回と同様の発想で |H(x)|≦√(x^2+1) が得られます。
|H(x)|=√(x^2+1) となるのは, cosx-x(sinx)=±√(x^2+1)
を考えることになるので,解法2の |G(x)|=√{(1/x^2)+1}となる
xと同じになります~ すなわち x=β_k です。
β_k は y=tanx と y=-x/2 のグラフの交点のx座標で与えられたので,
y=tanx と y=-x/2 のグラフの交点のx座標である γ_k と比べると
β_k<γ_k が成り立っています~eto_saru.gif



o22.jpg

o23.jpg



ここで, γ_k<x<γ_{k+1} の範囲で y=H(x) のグラフに接する
放物線 y=(a_k)x^2 を考えます。
ちょうど2曲線 y=H(x), y=(a_k)x^2 は接点において共通接線を持つので,
接線を2通りに表して係数比較をすることで接点及び a_k を求めることができます

o24.jpg
o25.jpg



ℓ_1:y=2x-(3π)/2 になるのですが,これと y=√(x^2+1) のグラフは 
交点を1つしか持たないことが計算で確かめられます。
このことから x>(3π)/2 において H(x)<(a_1)x^2
が成り立つことが分かります。
よって, y=H(x) のグラフは y=(a_1)x^2 のグラフと x>0 において
2個の交点を持ちますeto_tatsu.gif


同様にして,y=H(x) のグラフは y=(a_2)x^2, y=(a_3)x^2 のグラフと
x>0 においてそれぞれ3個,4個の交点を持ちます。

よって, a が a_1 と a_3 の間にあるときか, a_2 と一致するときに
y=H(x) のグラフと y=ax^2 のグラフは交点を3個持ちます~

o26.jpg


o27_20130318003100.jpg


o5_20130314202629.jpg



 解法4:曲線 y=cosx/x と曲線 y=sinx+ax の交点の個数を調べてみる

上の解法3と同様に,最後は問題文通りに y=f(x)と y=g(x) のグラフの
交点数を数えるとどんな感じになるか考えてみます~eto_inu.gif


q1_20130318010047.jpg

f(x)が極値を取る x もやはりキレイな値ではありません~
ここまでいくつかの関数を描いてきましたが,その方法にならって y=f(x) の
グラフの概形を求めることができますね~

q2_20130318010047.jpg

g(x)が極値を取る x もやはりキレイな値ではありません~
今度は y=tanx のグラフでなく y=cosx のグラフを参考にして考えると良いですが
|a|>1 のときは常に g’(x)≠0 であり,
|a|≦1 のときも a の正負によって g’(x)=0 となる x の分布位置が違いますよー

q3_20130318010047.jpg


-1≦sinx≦1 より, y=g(x) のグラフは
2直線 y=ax±1 に挟まれた領域の中に納まっています~
|a|≦1 のときは y=g(x) のグラフは極大値と極小値を無数に持ちます~

q4_20130318010047.jpg

q5_20130318010047.jpg


また, a>1 のときは y=g(x) は単調増加関数です~eto_i.gif


q6_20130318010048.jpg
q7_20130318010339.jpg


x>1 のときは g(x)=sin1+a>1>1/x≧f(x)となっています。
0<x≦1(<δ_1) のときは f(x) は単調減少です。
これらの考察とグラフの概形から, y=f(x) と y=g(x) のグラフは,
ただ1個の交点を持つことが分かります。
したがって,交点の数が3個になることはありません




また, a<-1 のときは y=g(x) は単調減少関数です~eto_hitsuji.gif


q8_20130318010339.jpg
q12_20130319114123.jpg


x>(3π)/2 のときは g(x)<g((3π)/2)<-1-(3π)/2<-2/(3π)<f(x),
0<x≦δ_1 のときは f(x) は単調減少で f(δ_1) は負の極小値,
δ_1<x≦(3π)/2 のときは f(x) は単調増加になっています。
このため, y=f(x) と y=g(x) のグラフの交点は高々2個です~
やはり交点が3個になることはないのです~



そんなわけで, |a|≦1 の場合に関して考えていけばOKです~hamster_2.gif


0≦a≦1 かつ ε_1<x<ε_3 の範囲で y=f(x)と y=g(x)のグラフが
接するときの a を a=a_1 とおいてみます~

解法3と同様に,共通接線の方程式を立てることで a_1 が計算出来ます~
実はこの共通接線は y=(a_1)x-1 と等しくなっていて
x>a_1 のとき y=f(x) のグラフはこの接線より下側にあり
一方 y=g(x) のグラフはこの接線より上側にあるので,
a=a_1 のときは y=f(x)と y=g(x)のグラフは交点を2個持ち,
これより a が大きくなると交点は1個,少し小さくなると交点は3個になります。

o28.jpg

q10_20130319114732.jpg
q13_20130319114124.jpg


0≦a≦1 かつ ε_3<x<ε_5 の範囲で y=f(x)と y=g(x)のグラフが
接するときの a を a=a_2 とおいてみます~


o29.jpg


更に, -1≦a≦0 かつ ζ_2<x<ζ_4 の範囲で y=f(x)と y=g(x)のグラフが
接するときの a を a=a_3 とおいてみます~


o30.jpg


共通接線の計算はさっきとほぼ一緒ですね。
ただ cosp=0 から得られるpの値がそれぞれ p=(7π)/2,(5π)/2 
になります~

a=a_2 のときは y=f(x)と y=g(x)のグラフは交点を4個持ち,
a=a_3 のときは y=f(x)と y=g(x)のグラフは交点を3個持ちます。

交点が3個になるのは a が a_2 と a_1 の間にあるときか, a_3 と一致するときです~


q11 1
q14_20130319114124.jpg
q11 2


問題文で与えられた通りに, y=f(x) と y=g(x) のグラフを比べると
このように面倒くさいことになるわけですね。
この手の問題を考えるときは,どのようなアプローチをすれば
少しでも楽に考察ができるかというのを考えながら解いてみることが試験場では大事ですね~kaeru_en4.gif




    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東大 大学入試 数学 2013 微分 方程式の解の個数

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