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2013年九州大学後期入試数学 第4問

2013.04.01 00:53|大学入試問題
どもども。


今回はちょっと番外編です~b_body_lazy.gif

たまたま依頼があったので,今回は今年の九州大学の後期入試の数学第4問を
取り扱ってみたいと思いますよ~~


問題はこちら~~kaerum mini

http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/13/ky2-21p.pdf


漸化式と極限に関連した数列の問題ですね~
{θ_n} と {x_n} という2つの数列が出てきます。
特に {θ_n} の方は何だか定義が厄介そうですね~

問題を解くにあたって,しっかりと状況把握に努めたいところです~

まず,αは 0≦α≦π/2 を満たす角です。
θ_n は, θ_1=0, θ_2=α, θ_3=2α, θ_4=3α, θ_5=4α,……
と始めのうちはαずつ大きくなっていきますよー。
そうしていると,どこかで π/2 より大きくなってしまいますね

α=0 のとき(考察するのを忘れやすいですよ~注意ですね)は,
常に θ_n=0 ですが, 0<α≦π/2 のときは
Nα≦π/2 かつ π/2<(N+1)α
を満たす自然数 N がただ1つ定まります。
この条件式は π/{2(N+1)}<α≦π/(2N) とも書けますね~star06.gif

このとき, θ_N=(N-1)α, θ_{N+1}=Nα, θ_{N+2}α=(N+1)α
θ_{N+3}=Nα, θ_{N+4}α=(N+1)α, θ_{N+5}=Nα, θ_{N+6}α=(N+1)α,……

となり, n≧N+1 のときは Nα と (N+1)α を行ったり来たりします~koinoburi10.gif
もっと面倒なのかと思いましたが,構造は案外単純なようです~

  u0.jpg

u1_20130331204556.jpg


一方, x_n に関する漸化式は,ちょうど x_n の階差を与えていますので
一般項を和の形で表示することが出来ますねーhaibisukasu01.gif


u2_20130331204557.jpg

x_n の形も分かってしまいました。
ここまでの情報を参考にすれば,問題にも何とか挑めそうです~

(1)は x_3 の最大値を与える α を求めるものです~
α と θ_n の定義から, α がどんな値であっても
θ_2=α, θ_3=2α になってしまうことは確定しますよ~

したがって, 0≦x≦π/2 のとき常に
x_3=sinα+(1/2)sin2α になります~
これの最大値を出せというのだから,関数 f(x)=sinx+(1/2)sin2x の
0≦x≦π/2 における最大値を探る問題に帰着されますねーdensya.gif
微分でもして増減を調べてみれば良いでしょう~

u3_20130331204557.jpg
u4_20130331204557.jpg


ちなみに,三角関数の微分という高級なものを使わなくても
数学Ⅱレベルの多項式の微分だけでも実は考察は可能ですよ~c-08.gif


u5_20130331204558.jpg
u6_20130331204634.jpg


(2)は α の値が具体的に α=π/4 に指定されます。
このときは, θ_1=0, θ_2=π/4, θ_3=π/2, θ_4=3π/4, θ_5=π/2,
θ_6=3π/4, θ_7=π/2,……
となり, n≧3 のときは π/2 と 3π/4 を行ったり来たりです~bye03.gif
このときに lim [n→∞] x_n を求めなさいという問題ですね~

θ_n も分かっているし, x_n も分かるので,
あとは落ち着いて無限級数の計算をすればOKです。

しかし,注意すべき点があります。
ちょうど前回の東大第3問のときと同様で, 
n の偶奇によって一般項の表示が変わってしまいます。
(θ_n が π/2,3π/4 になる項の個数が等しいか等しくないか変わりますねー)
x_{2k} と x_{2k+1} それぞれの極限を求めてそれが等しいことを
述べるのが良いかと思います~been.gif



u7_20130331204634.jpg

u8_20130331204635.jpg


u9_20130331215302.jpg

lim [n→∞] x_n が収束するための必要十分条件が
lim [k→∞] x_{2k},lim [k→∞] x_{2k+1} が共に収束し,値が等しい
ことであることはしっかり理解しておきましょう~



(3)は lim [n→∞] x_n の最大値とそれを与える α を求めるものです~
x_n は n の偶奇だけでなく, α の値によっても大きく一般項が変わってきますね。
α=0 のときは 常に x_n=0 だったので明らかに最大値にはなりません~
(α=π/4 のときで既に 0 より大きい極限値が出てきますね)
そこで, 0<α≦π/2 の場合について考えます~

第一に, α がどんな値であっても lim [n→∞] x_n は収束することを確かめておきますStrawberry01.gif
(2)と同様で lim [n→∞] x_{2n},lim [n→∞] x_{2n+1} とに分けて
考えると良いのですが,冒頭で述べたように, α の値ごとに
π/{2(N+1)}<α≦π/(2N) を満たす自然数 N が1つ定まりましたよね。
何気に, N の偶奇によっても微妙に x_{2n},x_{2n+1} の一般項が変わってきますよ~  
(θ_n が Nα,(N+1)α になる項の個数が等しいか等しくないかが 
n によって変わりますが, n が偶数・奇数どちらのときに等しくなるかが変わります)

 
では, N が偶数の時からみてみましょう~
やっていることは(2)と基本的には一緒です~Mushroom04.gif


u10_20130331204635.jpg
u11_20130331204635.jpg


奇数のときも同様にやります~
さっきは sin Nπ にくっついてたのは 1/2 の奇数乗,
sin(N+1)π にくっついていたのは 1/2 の偶数乗でしたが
今度は逆になります~

u12_20130331204702.jpg

N が偶数でも奇数でも,最終的に現れる極限値は同じですね。


さて,0<α≦π/2 の中の α たちは 
対応する N が N=1 である α のグループ,
N=2 であるグループ, N=3 であるグループ,……
等々に分類されますが,各グループの中の lim [n→∞] x_n の最大値たちの中で
最もでかいものが全体を通しての lim [n→∞] x_n の最大値になりますね。
つまり同じ N が対応する α たちの中で予選を行なって
勝ち上がった者達で決勝をするという感覚です~8257321.gif



まずは N=1 のグループについて考察してみましょうかー
このときは最初から θ_n は α と 2α を行ったり来たりします~
この時の極限値は,よ~~く見ると(1)の考察で使った 
f(α) の 4/3 倍になっています~
改めて微分とかして考察する必要がありませんよー
(1)はこの時のための伏線だったのですね~

u0.jpg

u13_20130331204702.jpg


次は N=2 の場合についてですね~8190579.gif

u14_20130331204703.jpg

うわーー  何だか考察が面倒くさそうです~
g’(x)の値の符号が知りたいので,
cosx=t とおいて t の3次関数 G(t)=4t^3+(8/3)t^2-2t-4/3
を考えます。微分して考えても良いですが,
実は G(t) は因数分解することもできますよ~
(g’(x)=cos3x+(4/3)cos2x+cosx なので 
g’(π/4)=0 にもし気付けたら, G(t) が t-1/√2 を因数に持つことが
分かると思います~)

u15.jpg
u16.jpg
u18.jpg


次は N=3 ですね~
N=2 のときも考察が大変でしたが,今度はもっと大変そうです><

しかしながら,このまま N=3,4,5,6,…… の場合を考察していったとしても
N の取りうる値は有限個ではないので,いつまでやっても議論は尽きませんよね。
だから,この調子でやっていっても答えには辿り着けません16.gif

そこで,少々ながら作戦変更の必要がありますね。
勘の働かせどころではありますが,恐らく N が大きくなっていったとき
lim [n→∞] x_n の最大値は多分あまり大きくないのです。
実は N=1 のときの最大値 √3 がそのまま全体の最大値になってるんじゃないでしょうかkaeru_en2.gif

この予想は実は正しくて,
先ほどやった N=2 の場合も含め, N≧2 の場合は
まとめて不等式評価で最大値が √3 より小さいことを見い出せてしまいます~

N≧2 の場合というのは 0<α≦π/4 の場合に相当します。
そこで, x_n の一般項に現れる sinα を sin(π/4) に,
sin(kα) (k≧2) はすべて sin(π/2)=1 で
上から評価してしまいましょう。 
大胆な評価ですが,ここまでやっても √3 より値が下回ります~~

u17.jpg


π/{2(N+1)}<α≦π/(2N) のときは
(N+1)α=Nα+α≦π/2+π/2=π です。
したがって, sin(kα) (1≦k≦N+1) は全て非負の値です。
このため数列 {x_n} は単調増加数列です。

N≧2 の場合は,極限を考えるまでもなく,
有限の n で止めておいても既に x_n<(√2)/2+1 が成り立っていますwink02.gif
最初に lim [n→∞] x_n が収束することを述べていれば
x_n<(√2)/2+1 の関係式から
lim [n→∞] x_n≦(√2)/2+1<√3
を求めることができますよーkatudon.gif


u19.jpg

これは,一般に数列 {a_n},{b_n} が与えられていて,
a_n≦b_n (n≧1) かつ
lim [n→∞] a_n=α,lim [n→∞] b_n=β (どちらも収束)
ならば α≦β
 という性質に基づくものです。
(ちなみに a_n<b_n であっても α<β ではなく α≦β ですよー)

今回の場合,先に lim [n→∞] x_n の収束性を述べていなかったとしても
x_n が単調増加でかつ上に有界という事実から
そのまま収束性も得られるんですが,前回も述べたように
有界単調列の収束性というのは高校数学レベルで扱うにはほんのり高級なので
少々慎重になってしまうということがあります~



とりあえず,具体的な極限値(Nを用いた式)までは計算しなくてもいいから
x_nの収束性についてのみでいいので始めに軽く触れておいてから
N≧2 の場合の議論をするのが安全といえますねー
lim [n→∞] x_n は収束するかどうか分からないけど,
収束するという前提で話を進めるというのはあまり宜しくありません~kecya.gif






   
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