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2013年東京大学前期入試 理系数学 第4問 その1

2013.04.02 21:26|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期の理系数学第4問です~

問題はこちら~FULL_2013_02_26_213320.gif
http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/13/t01-21p.pdf


幾何の問題ですね~

問題文にはベクトルが登場していますが,
必ずしもベクトルを使った解法に固執しなくて良いです~(特に(2))
考え方は色々ある問題ですが,背景にあるのはフェルマー点の話ですよ~
詳しくは後半で~


まずは(1)をみてみましょうーinsect_kabuto_s.gif


△ABCは辺の比が1:2:√3の直角三角形です~
△ABCの内部の点Pを始点とする3つの単位ベクトル
(→e_1)=(→PA)/|(→PA)|, (→e_2)=(→PB)/|(→PB)|, 
(→e_3)=(→PC)/|(→PC)| の和が
零ベクトルになるという条件が与えられています。

Pを基点とする位置ベクトルを考えたとき,
(→e_1),(→e_2),(→e_3) を表す点をそれぞれA’,B’,C’としますねhunayurei.gif



 解法1:Pを中心とする単位円上で考察する

まずはやや初等幾何的にやってみましょー。
PA’=PB’=PC’ なので3点A’,B’,C’は
Pを中心とする半径1の円周上
にありますーipon.gif

(→e_1)+(→e_2)=-(→e_3) なので
(→e_1)+(→e_2) を表す点Dもまたこの円周上にあります。
このとき△A’DP,△B’DPは実はどちらも正三角形になっていますよー

v3_20130402213231.jpg
v4_20130402213232.jpg


 解法2:ベクトルの計算で考察する

(→e_1)+(→e_2)=-(→e_3) なので
|(→e_1)+(→e_2)|^2=1 が成り立ちますね。
左辺を展開して内積 (→e_1)・(→e_2) の値を求めることができます~kaeru_ang2.gif

v5_20130402213232.jpg


 解法3:Pの周りの中心角について考察する

解法1の四角形A’DB’Pは菱形だったので,
∠A’PD=∠B’PD になっています。
これと同様に, (→e_2)+(→e_3),(→e_3)+(→e_1) を表す点E,Fを取ると
∠B’PE=∠C’PE および ∠C’PF=∠A’PF が成り立っています。

これらの角の間に成り立つ関係式から答えを求めることができます~kuma_fly.gif


v6_20130402213232.jpg


 解法4:Pが△A’B’C’の重心かつ外心であることに着目する

問題文で与えられた (→e_1)+(→e_2)+(→e_3)=(→0)
という式の左辺は3つの始点が同じベクトルの和ですが,
そのようなものを見ると3で割ってみたくなります。

 {(→e_1)+(→e_2)+(→e_3)}/3=(→0)

これの左辺が表す点は△A’B’C’の重心ですね~~
それが(→0)に等しいというのは,
つまりP自身が△A’B’C’の重心であるということですkorobo.gif
一方で,Pは△A’B’C’の外接円の中心,すなわち△A’B’C’の外心でもあります。

重心と外心が一致する三角形とは,つまり正三角形です~
△A’B’C’は正三角形なんですね。
そんな事実を使って答えを求めることもできますねー

v7_20130402213233.jpg







さて,(2)は次回に回すことにして,
ここでちょっとフェルマー点というものについて触れてみたいと思います~

△ABCを全ての内角が120°未満であるような三角形としますね。
△ABCのフェルマー点とは,3つの頂点からの距離の合計 AP+BP+CP が
最小になる点のことです~kudan.gif
トリチェリ点,シュタイナー点,等角中心とも呼ぶようですー
(Wikipedia:フェルマー点


下図において,△BCD,△CAE,△ABFはどれも正三角形であるとします。
このとき,3直線AD,BE,CFは実は1点Pで交わります。
この点が実はフェルマー点になっているんですよーkojika.gif


v8 a


この点は△BCD,△CAE,△ABFの外接円の交点にもなっていますkitune.gif



v1 2



AD,BE,CFが1点で交わることを確かめてみます~
BE,CFの交点をPとしたとき,△BCD,△CAE,△ABFの外接円に着目して
3点A,P,Dが同一直線上にあることを述べてみますねkiraneko.gif


v8_20130402213305.jpg

v9_20130402213305.jpg


このとき,更に AP+BP+CP=AD=BE=CF 
が成り立つことを確かめてみます~kame.gif


v10_20130402213305.jpg

ちなみに,△ABCの内部のP以外の点P’が ∠AP’B=∠BP’C=∠CP’A=120° 
を満たすことはないですよー

v11_20130402213305.jpg

今回の問題のように△ABCの内部にある ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
を満たす点Pが与えられたら,その点Pは△ABCのフェルマー点ですkawauso.gif

フェルマー点は AP+BP+CP が最小になる点だという話でしたが
例えばP以外の点Qを取ってみると AQ+BQ+CQ はどんな感じになるんでしょう。

v12_20130403045856.jpg


Q,RがBE上にあるのは∠AQB=120°になるときなので
Pと一致してしまうんですなー




次回は(2)を取り扱いますが,
このフェルマー点の性質なんかを使った解法なんかも考えてみたいと思いますよーm_0027.gif







   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東大 大学入試 数学 2013 ベクトル 平面図形 フェルマー点 外接円

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