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2013年東京大学前期入試 理系数学 第4問 その2

2013.04.03 01:37|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きで今年の東大前期理系数学第4問ですよ~

問題はこちらから~んこmini
http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/13/t01-21p.pdf

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-92.html

平面図形の問題でした~
フェルマー点の話が背後にある問題でしたねー

今回は(2)からやっていきます~

PA,PB,PCの長さを出す問題です。
∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,AB=1,BC=2,CA=√3
が分かっているので, PA=x,PB=y,PC=z とおいて
余弦定理を使って x,y,z に関する連立方程式を立てて解こう~~
なんていう機械的発想に走りがちですが,
その前に,ちょっと角度に着目してみると
相似を使った解法なんかも浮かんできます。

 解法1:三角形の相似関係を利用する


実は△APBと△BPCは相似になっています~
相似比は 1:2 なので PA:PB=1:2 です。
このことから更に PB:PC=1:2 が得られるので,
結局 PA:PB:PC=1:2:4 になっています~w01.gif


w1_20130403004903.jpg


 解法2:余弦定理を使って連立方程式を立てる

冒頭で述べた通りに,PA=x,PB=y,PC=z とおいて
余弦定理を△PAB,△PBC,△PCAに使って 
x,y,z に関する連立方程式を立てて解いてみます~
2次の項があるので若干面倒くさいです~

式の対称性なんかを上手に活用してみてください~

w2_20130403004903.jpg

w3_20130403004903.jpg

 解法3:正弦定理を使ってみる

余弦定理を使った解法があるなら正弦定理もあるだろう~
ということで今度は正弦定理を使ってみます~

△PABと△PACに正弦定理を適用して
APを2通りに表示して方程式を立ててみますーtukushi.gif


w4_20130403004904.jpg

w5_20130403004904.jpg



 解法4:Pがフェルマー点であることに着目してみる

前回に述べたように,Pは△ABCのフェルマー点になっています。
下図のように正三角形BCD,ACEを作ったとき,
PはADとBEの交点になっています。
また, AD=BE=AP+BP+CP が成り立っていますよ~

これらの関係などを利用して答えを求めることができますが
やり方は色々あるでしょうね。

とりあえず,今回は△ABCが辺の比が1:2:√3の三角形という
とても扱いやすい状況になっていて, ∠ACD=∠BCE=90° 
などの条件が使えます。
そこで,面積の対角線分割を駆使して答えを出してみます~shiki02.gif


w6_20130403004904.jpg
w7_20130403004932.jpg
w8.jpg



 解法5:ベクトルを使ってみる

問題文でベクトルを用いた条件式が与えられているため,
ベクトルを使って解く解法を模索してしまう人もいるかもしれません。
Pがフェルマー点であるということに基づいて考えれば
ベクトルを用いても比較的簡単に答えが出せますよ~

(→AB)=(→b),(→AC)=(→c) とおいて,
(→AP)を(→b),(→c)を用いて2通りに表示してみたいと思いますsaboten.gif


w9.jpg
w10.jpg


 解法6:座標を設定してみる

座標平面上で考えてみるという手もありますねー
△ABCは直角三角形なので,Aを原点にしてみるのが簡単です~kinoko06.gif
直線BE,CFの交点としてPが求められます。
あるいは△ABF,△ACEの外接円の交点として求めても良いですね。

w11.jpg
w12.jpg







次回は第5問をやっていきます~katudon.gif







   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東大 大学入試 数学 2013 ベクトル 平面図形 フェルマー点 外接円

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