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2013年東京大学前期入試 理系数学 第5問

2013.04.08 19:13|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期東大入試の理系数学第5問ですよー

問題はこちら~算数mini
http://nyushi.nikkei.co.jp/honshi/13/t01-21p.pdf

今年の大問6つの中では一番クセのある問題がコレだと思いますねー
でも一番面白い問題だと思いますよーdog_love.gif

連続する3つの自然数の積で表せる自然数の中で,
10進法表記で
***…**1111……111***…*****
(1が連続して99個以上並んでいる箇所がある)

となるようなものが存在することを証明しなさいという問題ですねーdango.gif


なかなか手強そうですね~~
1が99個「以上」並ぶって書いてあります。
「以上」っていわれても困りますねーー
もしかしたら99個連続するものは存在しなくて,100個か101個か102個か
その個数についても様々な考察をしていかなければいけないんでしょうか

でも安心してください。
実際やってみると,99個と仮定して考えても困難にはぶち当たりません。
問題の誘導に従って解いていくと,
1が少なくとも99個連続する箇所を含む自然数を見付けることができます。
それが実際何個の1が並んでいるのかについては別の考察が要りますね。
ちょうどピッタリ99個並ぶ,だと問題が更にややこしいことになっちゃうから
そこまでは要求しないよってことなんですね

結果的にはそういうことなんですが,
初見で解いてる最中は,この「以上」ってなんだろう…というもやもやが
ずっと付きまとうかもしれません。

そして,もう1つ付きまとうもやもやが,
どこの箇所に111…111が現れるんだろうってことですねー

1111……111****…******
(上99ケタ以上が1であるパターン)

****…**1111…1111****…***
(途中に1が99個以上並ぶパターン)

*****…***1111…111
(下99ケタ以上が1であるパターン)


の3パターンが考えられますeto_ne.gif
連続3整数の積で,という条件だったので
一番下のパターンはちょっと扱いづらそうですね。
それ以外のパターンで何とか攻めていけたらいいですねー


まずは(1)なんですが,
唐突によく分からない不等式を解けという設問です。
よく分からない不等式,には見えますが,
xが自然数のときは x+y=n とおくと,
中央の部分は (n-1)n(n+1) という
連続する3つの自然数の積になっているので
どうやら(2)を解くための1つのヒントになっているようですねgp01.gif

とはいっても,このヒントをどのように使えばいいのかに
なかなか気付けなかった人も多いはず。
それにさえ気付いてしまえれば
この第5問はほとんどやっつけたも同然になってしまいます~


とりあえず(1)を処理してしまいましょう~

(n-1)n(n+1)=n^3-n=(x+y)^3-(x+y)
なので展開してしまうのは労力はいりません。
そうすると左辺,中央辺,右辺すべてに共通してる項を取ってしまうと
ちょっと簡単になりますねgirl_jewel_r.gif




bb1.jpg

あとはこれを解けばOKです~
yは自然数だし,x>0の範囲で考えているので
左側の不等式は常に成立しますね。
実質的に右の方の不等式を解くだけになってますhamster_2.gif


bb2.jpg

なんだかすっげーー値が出てきてますね。
合ってんのコレ何なのコレ
みたいに思っちゃいますね。

どこまで計算すればいいのかも迷ってしまいますが
わざわざ根号内は展開までしなくても問題はないでしょう。
(1)の答えとして出てきたものは
(2)の中でちょっとした吟味の道具として使われるのですが,
その吟味の道具として使えるだけの格好になっているなら
それで何も問題がありません。
それ以上を要求する必要がないので
わざわざ根号内を整理する必要も無いかと思われますhearts_pink.gif



では(2)の中でどのように使われていくんでしょうかね。
それを考えていきたいと思います~

(1)で証明した不等式に着目してください。
x+y=n とおいたら連続3整数の積  (n-1)n(n+1) が
出現したのでした。
ということは x+y というのが1つのセットになっているんだなっていう
予感がするわけですよ
そして左辺の x^3+3yx^2 に着目です。
x=10^k (kは割と大きい自然数) とおいてみるとどうでしょう。
x^3=10^(3k)=10000…00000 (0が 3k 個続く)
3y=***…**** とすると
3yx^2=***…****000…000 (0が 2k 個続く)
になるので,kが大きければ

x^3+3yx^2=100…00****…***000…000

という形の整数が出てきますねhunayurei.gif
ここまでくると,だいぶピンとくるんじゃないかなーーとは思うんですが
3y=1111…1111 (1が99個続く) っておいてやればいいんスね
実際,1111…1111 (1が99個続く)は3の倍数です。

kがある程度大きければ
x^3+3yx^2=100…001111…111000…000
x^3+(3y+1)x^2=100…001111…112000…000
になるので,
x^3+3yx^2<N<x^3+(3y+1)x^2 を満たす自然数 N は
常に条件(b)を満たしています。

そのような自然数たちの中で,さらに条件(a)も満たすものを見付けなければいけません。
ここでいよいよ(1)の不等式の出番です~hiyob_en.gif


x+y=n のとき,
x^3+3yx^2<(n-1)n(n+1)<x^3+(3y+1)x^2   
を満たすための x=10^k の条件式が(1)の答えで与えられています。
あのよく分かんない形になった答えのやつです~

よく分かんない形とはいえ, (何だか分からんyの式)<x という形なので
3y=111…111 から定まるyを代入してやると,
(何らかの定数)<10^k という条件式になっちゃいますね。
kがすこぶるでかい自然数だったらこの条件式を満たしてくれるので,
そういう風にとっておけば A=(n-1)n(n+1) は
条件(a)(b)を共に満たしてしまうっていうわけですーーkaeru_en1.gif



bb3.jpg
bb4.jpg




誘導なしでだとこの解法に到達するのはなかなか大変そうですね。
その場合は,全く違うアプローチを模索してみるほうがいいかもしれませんm_0054.gif


今度は上99ケタ以上が1になるような A=(n-1)n(n+1) を考えてみます。

そこで,
S=111…11000…000 (1が99個続いて,0が3k個続く)
T=111…12000…000 (1が98個続いて2が来てその後0が3k個続く)
という整数 S,T を使います。
kはどのように取ればいいかというと,

S<(n-1)^3<(n+1)^3<T を満たすような自然数nが存在するように
取ってみたいと思いますm_0052.gif
果たしてそんなことが出来るのでしょうか。

U={(111…111)^(1/3)}×10^k+1
V={(111…112)^(1/3)}×10^k-1
とおきますね。
S<(n-1)^3<(n+1)^3<T という不等式をいじっていくと
U<n<V という不等式が得られます。

もしも V-U>1 であったなら, U<n<V を満たす自然数 n は必ず存在しますね。
したがって, V-U>1 となるようにkを取ってやればいいってことですm_0060.gif

このとき,
(n-1)^3<A<(n+1)^3 なので, S<A<T ですよね。
よって条件(a)(b)を共に満たす自然数 A が得られます~

bb5.jpg

bb6.jpg
bb7.jpg



1の連続個数が99個と言わず,
何個であろうと同様の手順で考察が出来ますねm_0245.gif






次回は第6問をやっていきます~m_0243.gif






   
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ジャンル:学校・教育

タグ:東大 大学入試 数学 2013 整数問題 連続3整数

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