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2013年東京大学前期入試 理系数学 第6問 その1

2013.04.13 18:30|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期東大入試理系数学の第6問を取り扱います~




東大お得意の空間図形の問題です~~
よく分かんない回転体の体積を求めようっていう内容です~insect_kabuto_s.gif

正方形ABCDを対角線BDを軸に回転させてできる立体V_1と
対角線ACを軸に回転させてできる立体V_2があって,
この2つの共通部分 V_1∩V_2 の体積を出すということなんですが,
どうもイマイチ,この V_1∩V_2 というのがイメージのしにくい立体ですね

実体のよく分からない立体であろうと,
断面積を求めてそれを積分しちゃえば体積が出てきちゃうというところが
積分の強みだと言えます。
いくつかの対称性もありますし,そういったものを駆使して
問題に挑んでいけば道は切り開けそうです。

さて,(1)はV_1を平面 x=t で切った時の断面積を求める設問です。
回転体の問題は大体の場合,回転軸に垂直な平面で切断するのが定番です~
(今回みたいなシンプルな図形だと切り口は円になって考察がしやすいからですね)

ところが,なんと
今回の問題では,平面 x=t という回転軸と垂直でない
平面で切断するというのです。

a2_20130413165241.jpg
  a3_20130413165241.jpg

何故そんな分かりづらそうなことを敢えてするのでしょう。
それは(2)で V_1∩V_2 の断面積を考えるときに考えやすくなるからですkaeru_yodare1.gif
V_1の体積を求めたいというだけなら通常通り断面が円になるように切ってやるのが楽でしょうね。

…とはいってもV_1がどんな立体かというのは実は割と明白で,
正方形ABCDを2つの三角形ABCとDACに分解してみると分かりやすいんですが
これらをぐるりと1回転してやると円錐が2つ出来ますね~
どちらも合同な円錐で,底面がACを直径とする円(半径は√2ですね)です。
円錐の体積はわざわざ断面積を求めて積分しなくても
おなじみの体積公式 (底面積)×(高さ)×(1/3) で計算することが可能です。

円錐を平面でスパっと切断した時の切断面に現れる曲線を円錐曲線といいますが
これは円・楕円・放物線・双曲線(・2直線)といった2次曲線になっていることが
よく知られていますladybug.gif


a1_20130413165241.jpg

平面 z=0 を真上から見下ろす方向からV_1を見てみると
V_1を平面 x=t で切るということが,
母線BC,ADに平行な平面で切断しているんだってことが分かるかと思いますm_0194.gif


a4_20130413165241.jpg

よって,切断面の外周は,放物線を2つくっつけたような形になっていますm_0027.gif

a3_20130413165241.jpg

a16_20130413172909.jpg

上部分と下部分に分けて面積を求めればよさそうですね。
放物線と直線で囲まれた部分の面積は,
通称「1/6公式」と呼ばれているあの公式や,
あるいはそれに準じたものを使えば積分計算なしに面積が出せます。

今回はこの公式を使ってみましょう~m_0191.gif


a6_20130413165242.jpg

三角形の面積公式みたいな見方をしてみれば
斜線部の面積が (底辺)×(高さ)×(2/3) (の感覚)で求められますpanda_1.gif
これは1/6公式を使って簡単に確かめられますよー。

この公式を適用するには,EF,PT,PRの長さを
求めなければいけませんね。
EFは円錐底面の円に着目して,
PT,PRは正方形ABCDに着目してちゃちゃっと求めることができますよ~pakukapa.gif

あとは公式に当てはめれば断面積が求められます。

a5_20130413165242.jpg




(2)は V_1∩V_2 の体積を求める問題でした。
やはり平面 x=t で切った断面積を求めるところからやっていきましょう。

V_1の断面の形状は(1)で見た通りです。
V_2を平面 x=t で切った断面はどうなっているんでしょうかoni.gif


a8_20130413165535.jpg
a7_20130413165535.jpg

回転軸が変わったので若干混乱するかもしれませんが,
元々の図形が正方形ABCDというとても対称性に優れた図形で
しかも回転軸も2本の対角線なので,
なんとも都合の良いことに,V_2を切断した断面も
向きは上下逆さまですがV_1を切った時の断面と合同になっていますonigiri_2.gif


a9_20130413165536.jpg

したがって, V_1∩V_2 の断面は,
2つの断面の共通部分,つまり上図の緑色部分になっています
線対称のキレイな図形になっていますね。
コレの面積を積分して体積を出すわけです。
平面 x=t という妙な平面で切断したのがここの局面で活かされる格好です。

さて,この緑色の部分も2つの放物線をくっつけた形になっています。
(1)と同じ要領で面積が出せますね。
UT=UR=1 であることは分かりやすいと思いますが
IJ の長さはちょっと求めるのが面倒そうです。

EFの長さを求めたときと同じように考えてみれば良いと思います。
V_1において,Uを通って円錐の底面の円と平行な平面で
円錐を切った時の断面の円に着目すれば IJ の長さが求められますoden.gif


a10_20130413165536.jpga11_20130413165536.jpg
    a12_20130413165536.jpg

a13_20130413165842.jpg

a17_20130415150649.jpg


放物線の方程式から直接 IJ の長さを求めることも可能です~
EFとPTの長さが分かっているので,
そのような長さの情報に対応する放物線の方程式を適当に作って
IJ の長さを求めればいいのです~

E(-√{2(1-t^2)},0),F(√{2(1-t^2)},0),T(0,1+t)
となるような座標平面を想定して( 問題文で与えられた座標系とは別個のものです
求めてみます~ny_ozouni.gif



a15_20130413165843.jpg





……というわけで,(1)(2)の解法を1つ挙げることが出来ました。
計算量は比較的少ないやり方だと思いますが,
あくまで円錐を切断した時の断面の外周が放物線になっていることを
既知とした前提の解法であることに注意しておきましょうrabi_nomal.gif

高校数学では円錐曲線の話なんて普通取り扱わないかと思うので,
いきなり「断面は放物線だよ」と言っても,
入試ではもしかしたら説明不足で減点されてしまうかもしれないですね~
計算をガチャガチャやって断面が放物線になることを確かめた上でなら
入試でもこの方針でいけそうです。
まあ,答を出すだけ,であるとか,あるいは数学検定の問題とかだったら
この程度の解法で十分だと思いますが~


ということで,次回はもうちょっと大学入試らしい方針で
この問題を解いてみまーーーすspaghetti.gif






      
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