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2013年東京大学前期入試 理系数学 第6問 その2

2013.04.17 13:26|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~
今年の前期東大入試の理系数学第6問です~



前回: http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-95.html

回転体の問題でしたねーーーtaxi02.gif


正方形を2本の対角線それぞれを軸に1回転させてできる2つの立体V_1,V_2の
共通部分の体積を出せということでした。

断面積を積分して体積を出すという定番の方法なんですが
切断の仕方が若干特殊だったのでした。

回転体V_1,V_2はどちらも合同で,円錐を2つくっつけたような立体です。
回転軸に垂直な平面で切ることが多いのですが
今回は母線に平行な平面で切断しています。

(1)の段階では確かにちょっと物珍しい印象も受けるのですが
V_1∩V_2 は平面 y=0 に関して対称になっているので
(2)においては,対称面に垂直な面で切断していて
実は特別不自然な切り方ではありません。
切断面は線対称な図形になりますtawa02.gif

前回は,円錐に関する一般論から切断面の境界に現れるのが
放物線であることを始めから既知のものとして計算しましたが,
今回はもうちょっと大学入試の定番手法にならって計算してみます。


b1_20130416112541.jpg

まずは(1)ですが,
平面 x=t でV_1を切断するんでしたねー。
その断面を更にyz平面上の直線 y=y_0 で切断してみます。
そのときの切り口の線分は, (t,y_0,z) の形で書ける
V_1 の点の全体になります
これを y に関して y=-1 から y=1 まで積分することで
断面積が出てきます~takenoko03.gif

そんなわけで,正方形ABCD上で x=t であるような点(t,y_0,0)を
任意に取ってきて,この点における立体V_1の高さ(zの取りうる値の範囲)を
求めてみましょーー。

V_1は2つの円錐をくっつけたような立体でした。
点(t,y_0,0)は,-t≦y_0≦1 のときはBを頂点とする方の円錐側に属し,
-1≦y_0≦-t のときはDを頂点とする方の円錐側に属します。
この2つの場合で様子が異なるので,別々に考察してみることにしましょうsenpuki04.gif



まずは,-t≦y_0≦1 の場合です~
Bを頂点とする方の円錐の底面,すなわちACを直径とする円に平行で
かつ点 (t,y_0,0) を含むような平面でV_1を切断すると
その断面はやはり円です。この円の中心をMとします。
この断面の円Mと平面 x=t の共通部分は下の図の線分EFになっていて,
(t,y_0,z)の形で書けるV_1の点の集合がこれです。
E,Fの座標(というか,EFの長さ)を求めれば良いです~koinoburi10.gif




b2_20130416112541.jpg

Mというのは,平面z=0において
点 (t,y_0,0) を通る傾き-1の直線と,
直線 y=x の交点です。
また,円Mの半径は直角二等辺三角形の辺の比を利用して求めると楽です~kashiwamochi01.gif


b3_20130416112541.jpg
b4_20130416112542.jpg
b5_20130416112542.jpg
b6_20130416112542.jpg


続いては -1≦y_0≦-t の場合を考えます~
今度は点(t,y_0,0)はDを頂点とする方の円錐側に属しますが,
やることは基本的にさっきと同じです~hanaji02.gif

Dを頂点とする方の円錐の底面の円に平行で
かつ点 (t,y_0,0) を含むような平面でV_1を切断したときの
断面の円の中心をNとします。
この断面の円Nと平面 x=t の共通部分の線分GHの長さを求めます。

b7_20130416112629.jpg
b8_20130416112629.jpg




EFとGHの長さが分かったので,これらをyの関数とみなして
GHを y に関して y=-1 から y=-t まで
EFを y=-t から y=1 まで積分することで
断面積を計算しましょう~~rabi_smile.gif


b9_20130416112629.jpg


(2)について考えてみます~
V_2は平面 y=0 に関してV_1と対称になっています。
そのため,V_2をを平面 x=t で切断したときの切断面は
V_1の切断面を y=0 に関して対称移動させたものになっています。
そして, V_1∩V_2 を平面 x=t で切断したときの
切断面も y=0 を軸に線対称になっています。
V_1,V_2それぞれの切断面の共通部分を考えれば良いですね。

あとは断面積を求めてそれをtに関して積分すればOKです~sreep_dog.gif


b10_20130416112629.jpg

b11_20130416112630.jpg



ということで答えが出せました~~car2_dump.gif


平面 x=t による切断ではなくて
BDに垂直な面で切断していくやり方をすると
計算が結構ハードになります。
というのもV_2をこの平面で切った時の切り口が
双曲線をくっつけたものになって積分が面倒になるからです~
面倒くさくて自分は途中でやめてしまいましたが
時間のある人はチャレンジしてみてください♪



   




   
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