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2013年京都大学前期入試 理系数学 第1問

2013.04.18 00:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試の理系数学第1問です~



平行四辺形に関する平面図形の問題です~w05.gif


c1_20130417185758.jpg


早い話がこの図において線分比 AP:PQ を求めよ~
という問題ですよ~

ベクトルを使う解法が真っ先に挙がってきそうですが
普通の初等幾何の問題としても解けるので
大学入試どころか高校入試の問題としても成立し得る問題ですね~

中学生でも京大の問題を完答できるというのは
何だか夢があっていいですよね~w03.gif



 解法1:相似の性質を使って解く

まずは中学生にもわかるシンプルな解法をやってみます。
とはいっても相似の応用問題なので,
補助線の引き方に慣れてないと難しく感じるかもしれません。

四角形ABCDは平行四辺形なので2組の対辺はそれぞれ平行です。
そのおかげで相似な三角形は割と作りやすいはずです~
補助線の引き方は複数ありますが,一例を示してみますよー

今回は下の図のように
FG,CEを延長してADの延長との交点をH,Iとしてみます。



c2_20130417185759.jpg



IH // BC に着目すると,例えば
△AEI∽△BEC, △IPH△CPF, △APH∽△QPF, △DGH∽△CGF
のような相似関係が見て取れますね~heart14.gif
特に,△AEIと△BECに関しては相似比が AE:BE=1:1 なので
実はこの2つの三角形は合同だったりします~

これらの関係から, AP:PQ は IP:PC に等しく,
更にこれは IH:FC に等しいことが導けます。
このことに基づいて答えを出してみます~

c3_20130417185759.jpg



 解法2:相似の性質とメネラウスの定理を使って解く

途中までは上の解法と同じですが,
最後の部分をメネラウスの定理を使ってみたいと思います~
今回は△ICDと直線PHに定理を適用させてみます~

c4_20130417185759.jpg


 解法3:ベクトルを使って解く

問題集にこの問題を載せるとしたら恐らくベクトルを使った解法が
模範解答として真っ先に挙がると思いますhana08.gif
Aを基点とする位置ベクトルを考えることとし,
(→AB)=(→b),(→AD)=(→d)とおきます。
平面上の任意の点は(→b)と(→d)の1次結合で書けますね。

PはEC上の点であると同時にFG上の点です。
このことに着眼して(→AP)を2通りに表して連立方程式を解きます。
これによって,(→AP)の表示式を得ることが出来ますfuurin03.gif

一方,Qは直線AP上の点なので, (→AQ)=k(→AP) と書けますね。
また,(→AQ)=(→AB)+(→BQ)=(→b)+ℓ (→d)とも書けるので
今度は k と ℓ の連立方程式を解けばいいですね。

ここまでくると, AP:PQ の比が求められます~c-11.gif


c5_20130417185759.jpg
  c6_20130417185800.jpg


 解法4:面積比を使って解く

おなじみ対角線分割の原理などを使って解いてみます~aicon_130.gif

まずは GP:PF または EP:PC どちらかの比を出してみます~
対角線分割が使いやすいのは GP:PF の方なので,
そっちを出してみますね~

GP:PF=△GEC:△FEC なのでこの面積比を求めてみますStrawberry02.gif


c12_20130417202144.jpg

平行四辺形ABCDの面積をSとして,
△GECと△FECの面積がSの何倍か調べます。

AB // DC なので,△GEC=△GAC ですね。
また, △GAC=(3/4)△ACD=(3/4){(1/2)S}=(3/8)S
です。これで △GEC=(3/8)S であることが分かりますね8184765.gif
△FECの方も同じようにやってみてください~


GP:PF が分かると今度は△PFCの面積がSの何倍かを求めることが出来ます。
これと△AFCの面積を比べることで
AQ:PQ=△AFC:△PFC が求められます。
これも対角線分割に類した原理です。
この比がわかれば答えが出せますね8190547.gif


c7_20130417185828.jpg
c8_20130417185828.jpg
c9_20130417185829.jpg


 解法5:斜交座標を使って解く

(→b)と(→d)は1次独立なベクトルなので,これら2つを基底とする
斜交座標を考えることが出来ます。
基底とか言われるとちょっと難しい話になってしまいますが,
平面上の任意の点Xが (→AX)=α(→b)+β(→d) と一意に書けることに
着目して,この点のことを(α,β)と表すことにしようという考え方だと思ってください

その発想によると
A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
E(1/2,0),F(1,2/3),G(1/4,1)のように書けますね。

このとき,Pの座標は直線EC,GFの交点として,いつものように
2直線の方程式を連立させたものを解くことで得ることができます~

c10_20130417185829.jpg
c11_20130417185829.jpg





決して難しい問題ではないので
なんとか落とさずに切り抜けたいところですね~

次回は第2問です~16053835.gif






    
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タグ:京大 大学入試 数学 2013 相似 ベクトル 平行四辺形

コメント

No title

かわいいキャラクターがいいですねv-521

中学校や高校(あるいは小学校でも)では数学に固くてちょっと偉そうなイメージがつきがちなので、ほのぼのにゅる~と数学ができたら幸せですよね


No title

>ネコノトスさん

コメントありがとうございます~

数学は教科書がもうガッチガチの固さですからねー
学生もみんな無意識のうちに「数学は固い雰囲気でやらなきゃいけない」
という先入観が生まれてしまいます~
もっとゆるい雰囲気でいいんですけどね~
内容さえ正しければ,かえるさんがいたってうさぎさんがいたって良いのですv-535v-530
ほのぼのにゅる~と数学楽しみましょう~
非公開コメント

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