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2013年京都大学前期入試 理系数学 第2問

2013.04.19 00:27|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第2問です~




数列の問題ですね~

数列{a_n}の定義が何やら漸化式で与えられています~
a_n の偶奇によって a_{n+1} の与え方が違うみたいですね。

問題文を読み違えないように注意してくださいね~~
nの偶奇ではなくて a_n の偶奇によって与え方が変わるんですよ~~
自分は最初読み間違えますたッ

a_n が偶数の時は,これを2で割ったものが a_{n+1} になります。
偶数を2で割っているので,これは確かに整数ですね。
a_n が奇数の時は,1を引いてから2で割ったものが a_{n+1} になります。
a_n-1 は偶数なので,これを2で割った a_{n+1} はやはり整数ですね。

a_{n+1} の値は a_n の約半分なので,数列{a_n}はnが大きくなるにつれて
どんどん小さくなっていきますface_heart.gif
では,やがてこの数列はどういう挙動を取るようになるのでしょうか。

数列{a_n}の一般項を考えてみたいと思います~
まずは N=2 の場合を考えてみますよ~
このときは a_1=1,a_2=a_3=a_4=……=0
というシンプルな構造になっていますよ~eto_uma.gif
証明すべき不等式についても考察が容易そうです。

d1_20130418232006.jpg



N≧3 の場合について考えていきましょう~~

a_1=2^N-3, a_2=2^(N-1)-2 の後は
a_3=2^(N-2)-1, a_3=2^(N-3)-1, a_3=2^(N-4)-1, ……
となっていて,どうやら a_n=2^(N-n+1)-1 が成り立つようです。

しかしながら,いつまでもこのまま続くかというと,そうではありませんよーeto_ushi.gif

第 N+1 項を考えてみます~
a_{N+1}=2^0-1=0 になりますね。
問題はこの次です。 
3≦n≦N では a_n=2^(N-n+1)-1 は奇数でしたが,
第 N+1 項の0は奇数ではなく偶数です。
N=2 のときと同様で,第N+1項以降は常に a_n=0 になってしまいます~gp01.gif


d2_20130418232007.jpg
d3_20130418232007.jpg


これで数列 {a_n} の一般項が得られました~
N=2 のときは 3≦n≦N という不等式が意味を成さなくなるので
それが理由で N=2 の場合は最初に済ませておきました~

さて, S_M=Σ[n=1;M] a_n=a_1+a_2+a_3+a_4+……+a_M
とおきますよー。
S_M≦2^(N+1)-N-3 が証明すべき不等式ですね。

a_n は常に0以上の整数になっているので,
それらを順に足していくのだから S_M が単調増加することは分かると思います。
また, n≧N+1 のときは a_n=0 なんだから,
S_M は M≧N のときは常に変わらない値になりますねhamster_2.gif
つまり 第N項の S_N が S_M の最大値になっているわけです。
この最大値を求めれば,証明すべき不等式を得ることにかなり近付けそうですね。
というか実は S_N の値こそが 2^(N+1)-N-3 になってるんですけどね~

方針が立ったので,あとはまとめる作業です~~hunayurei.gif


d4_20130418232008.jpg

 d5_20130418232008.jpg

d6_20130418232008.jpg




このように,数列 {S_M} の単調増加性に着目すると証明が簡単ですが,
それに着目しないとすれば,もうちょっと地道に考察しなければいけなくなりますね。
M=1,2の場合と 3≦M≦N-1, M≧N の場合に分けて
それぞれについて証明すべき不等式を考察してみます~

下準備として
「補題: n≧2 のとき, 2^n≧n+2 が成り立つ。」
を証明しておきますinsect_kabuto_m.gif


d7_20130418232029.jpg

この補題を利用して S_M≦2^(N+1)-N-3 を証明していきましょう~kaeru_en1.gif


d8_20130418232029.jpg

d9_20130418232030.jpg

d10_20130418232030.jpg




次回は第3問をやります~m_0001.gif





  
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