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2013年京都大学前期入試 理系数学 第3問 

2013.04.23 02:45|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第3問をやります~




整式の除法と整数に関する問題です~~

x^n を整式 x^2-2x-1 で割ったときの余りが ax+b だそうです。
このとき, a と b が互いに素な整数であることを示す問題です~

a と b はnによって変わるので,
代わりに a_n,b_n とおいた方が後々やりやすいと思います~
ついでに x^n を x^2-2x-1 で割ったときの商の方も
Q_n(x) とおいておきましょう~

このとき,これらの式たちの間に成り立つ関係式は

x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)

ですねsuika.gif


この関係式を拠点にして,  a_n,b_n を具体的に求めていくアプローチもありますし
a_n,b_n の間に成り立つ漸化式から出題された命題を証明していく方法もあります。

何はともあれ,まずは試しに a_1 と b_1 を求めてみましょうか

n=1 ということは1次式 x を x^2-2x-1 で割るということなので
商 Q_1(x) は 0 に等しく, x がそのまま余りになります。

x=(x^2-2x-1)・0+x

ということなので, a_1=1, b_1=0 になりますね~
a_1,b_1 は共に整数で,素数の共通因数は無いですね~


n=2 ではどうでしょう。
x^2 を x^2-2x-1 で割るということなので
商 Q_1(x) は 1 に等しく, 2x+1 が余りになります。

x^2=(x^2-2x-1)・1+2x+1

ということなので, a_2=2, b_2=1 になりますね~
a_2,b_2 は共に整数で,素数の共通因数は無いですね~

この調子で n=3,4,5,… とやっていけばいいんでしょうが
それではいつまでたっても終わりませんstar05.gif



ここで,一般のnについての等式
x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)
に戻りましょう。
このとき, x^(n+1) を x^2-2x-1 で割ったときの
商と余りを知りたければどうします
真っ先に思いつくのは筆算して求めるということでしょう。
でも,nが具体的に与えられていないと筆算もどこで終わればいいのか
よく分かりません。しかも計算は煩雑です。

実は筆算を使わずとも,
x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)
の関係式を利用して x^(n+1)÷(x^2-2x-1) 
の割り算結果を知ることが出来ます。

x^n=(x^2-2x-1)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)
の両辺に x を掛けてみます。

x^(n+1)=(x^2-2x-1){Q_n(x)・x}+(a_n)x^2+(b_n)x

なんだか x^(n+1)÷(x^2-2x-1) 
の結果みたいな式が出て来ましたよ。
でも,これでおしまいではありません。
2次式で割っているので余りは1次以下の多項式にならなければいけませんaicon_bbs19.gif

(a_n)x^2+(b_n)x は一般に2次多項式です。
これはまだ x^2-2x-1 で割れますね。

(a_n)x^2+(b_n)x を x^2-2x-1 で割る操作も
わざわざ筆算なんか使わずとも

(a_n)x^2+(b_n)x=(a_n)(x^2-2x-1)+(a_n)(2x+1)+(b_n)x
=(a_n)(x^2-2x-1)+(2a_n+b_n)x+a_n

と計算ができますよ~Strawberry01.gif

……ということは,結局,
x^(n+1)=(x^2-2x-1){Q_n(x)・x+a_n}+(2a_n+b_n)x+a_n
と書けるので
Q_{n+1}(x)=Q_n(x)・x+a_n, a_{n+1}=2a_n+b_n, b_{n+1}=a_n
を得ることができます~
商と余りは一意に定まるという性質があるので,
x^(n+1)=(x^2-2x-1)((n-1)次多項式)+(1次式以下の多項式)
の形の関係式が1個でも得られたら,そこから商と余りが読み取れてしまうのですねaicon_bbs17.gif



e1_20130423014419.jpg


  e2_20130423014420.jpg



数列{a_n},{b_n} に関する漸化式が得られました~
どうもこれはヒントになりそうです。
数学的帰納法を使うと良さげですね~

任意のnに対して,a_n,b_n が互いに素な整数になることを
数学的帰納法で証明してみますaomushi01.gif


もし a_{k+1},b_{k+1} が素数の共通因数を持っているとしたら
さっき得られた漸化式から a_k,b_k が素数の共通因数を持ってしまうという
帰納法の仮定に反する結果が得られてしまい,矛盾する~~s2_sum_sunflower.gif

という論調でやってみます~

e3_20130423014420.jpg
  e4_20130423014420.jpg



ということで終了です~~aicon_bbs20.gif



ところで,今の解法では数列{a_n},{b_n} に関する漸化式は
得られたものの,実際にそれを解いて一般項を求めるという作業は行いませんでした。
連立方程式を解けばもちろん一般項は出てきます。
ただ,今回はもっと手っ取り早く一般項を求めることも可能ですrisu.gif

x^2-2x-1=0 の解は x=1±√2 なので
x^2-2x-1=(x-1-√2)(x-1+√2) と因数分解できますね。

x^n=(x-1-√2)(x-1+√2)Q_n(x)+(a_n)x+(b_n)

に x=1±√2 を代入することで

(1±√2)^n=(a_n)(1±√2)+(b_n)

という関係式が得られます。「+」の方と「-」の方を適当に駆使して
一般項が得られてしまいますrabi_smile.gif


e5_20130423014420.jpg


ここで得られた一般項は√2がイヤ~な感じに混じっているので
なかなかこれがすぐに整数ですとは言いづらい気もしますね。
二項定理で展開するとうまい具合に項が相殺していって
最終的に整数になるんだろうなというのは大体予想はつきますredleaves.gif

しかし二項係数を含む何だか実態のよくわからない形式で表示されるので
√2は消えて,とりあえず整数だな~~てことくらいは何とか分かるものの,
ただ,a_n,b_n が互いに素であることを示すのは
ちょっとその形からだと大変そうな予感ですねー。


あの√2を含んだ一般項で与えられた a_n,b_n が整数であることは
次のようにして帰納法から確かめることも可能ですhiyos.gif

 

   e8_20130423014449.jpg
e9_20130423014449.jpg


ところで,を辺々掛けると

(-1)^n=-(a_n)^2+2(a_n)(b_n)+(b_n)^2

という√2を含まない式を得ることができますkawauso.gif
a_n,b_n が素数の共通因数pを持っていたら,
右辺はpの倍数になっています。
各項がpの倍数を2回掛けているので,p^2の倍数といってもいいですね。
ところが左辺は±1なのでpの倍数にはなりえませんねdog_shy.gif
そのことから出題された命題を証明することも可能です。


e10_20130423014450.jpg



(1+√2)^n=A_n+(√2)B_n とおいてみる作戦もあります。
このとき,(1-√2)^n=A_n-(√2)B_n になることを確かめて,
a_n=B_n,b_n=B_{n-1} となることを導く方針で命題を証明することも可能です。

e11_20130430235207.jpg
e12_20130430235208.jpg
 



ちなみに,今回の問題に出てきた a_n で与えられる数はペル数と呼ばれていますよ~



次回は第4問をやっていきます~christmas.gif





   
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